A row of wells opens gaps.
Kronig-Penney 모형, 주기 포텐셜에서 밴드갭이 출현하는 정확한 그림
Kronig-Penney model — the exact picture of how a periodic potential opens band gaps
앞 레슨에서 본 자유전자는 에너지가 운동량의 제곱에 비례하는 ($E = \hbar^2 k^2 / 2m$) 매끄러운 포물선을 그렸습니다. 어떤 에너지든 전자가 가질 수 있는, 빈틈없는 세계였지요. 그런데 전자를 진짜 결정 안에 넣으면 사정이 달라집니다. 일정한 간격으로 늘어선 양이온들이 전자에게 주기적인 퍼텐셜을 가하면, 특정 에너지 영역이 통째로 금지되는 밴드갭 (band gap) 이 열립니다.
In the previous lesson the free electron traced a smooth parabola where energy is proportional to the square of momentum ($E = \hbar^2 k^2 / 2m$) — a seamless world in which every energy is allowed. When an electron is placed inside a real crystal, however, the picture changes. The regularly spaced positive ions impose a periodic potential on the electron, and certain energy ranges become entirely forbidden, opening a band gap.
이 현상을 가장 깔끔하게 보여 준 것이 1931년 랄프 크로니그 (Ralph Kronig) 와 윌리엄 페니 (William Penney) 의 1차원 모형입니다. 그들은 실제 원자의 복잡한 쿨롱 퍼텐셜 대신, 우물과 장벽이 규칙적으로 반복되는 단순한 사각 퍼텐셜을 가정했습니다. 놀랍게도 이 장난감 모형 하나에서 밴드와 갭, 그리고 금속과 반도체, 부도체의 차이가 모두 한 줄의 식으로 흘러나옵니다.
The clearest demonstration of this phenomenon is the 1931 one-dimensional model of Ralph Kronig and William Penney. Instead of the complicated Coulomb potential of real atoms, they assumed a simple square potential of regularly repeating wells and barriers. Remarkably, this toy model alone yields bands and gaps — and the full distinction between metals, semiconductors, and insulators — from a single equation.
이 레슨에서는 그 식이 어떻게 갭을 만들어 내는지를 단계별로 따라갑니다. 아래 작업대에서는 장벽 높이 $V_0$ 와 장벽 폭 $b$ 슬라이더를 직접 움직이며, 위쪽 $V(x)$ 주기 퍼텐셜과 아래쪽 $E(k)$ 분산 관계에서 밴드와 갭이 어떻게 나타나고 닫히는지 눈으로 확인할 수 있습니다.
This lesson traces step by step how that equation generates gaps. In the workbench below you can move the barrier height $V_0$ and barrier width $b$ sliders directly and watch how bands and gaps appear and close in both the $V(x)$ periodic potential (top) and the $E(k)$ dispersion relation (bottom).
자유전자가 주기성을 만나면.
When the free electron meets periodicity.
매끄럽던 포물선에 어떻게 "구멍"이 뚫리는 걸까요?
빈 공간에서 전자의 파동함수는 어디서나 진폭이 같은 평면파 $e^{ikx}$ 입니다. 그런데 결정 안에서는 일정한 간격 $a$ 로 늘어선 양이온들이 만드는 주기적 퍼텐셜이 더해집니다. 1929년, 펠릭스 블로흐 (Felix Bloch) 는 이런 주기 퍼텐셜 속 전자의 해가 어떤 모습이어야 하는지를 밝혔습니다. 바로 블로흐 정리입니다. 해는 평면파에 격자와 같은 주기로 출렁이는 변조 $u_k(x)$ 가 곱해진 꼴, 즉 $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$ 가 됩니다. 한 칸 $a$ 만큼 이동해도 파동함수는 위상만 $e^{ika}$ 만큼 바뀔 뿐, 모양은 그대로 반복되지요. 실리콘이든 다이아몬드든 모든 결정 속 전자가 이 블로흐 함수를 따릅니다.
크로니그와 페니는 여기에 가장 단순한 퍼텐셜을 넣어 보았습니다. 폭 넓은 우물과 높이 $V_0$ 인 좁은 장벽이 번갈아 반복되는 사각 퍼텐셜이지요. 실제 원자의 퍼텐셜은 부드러운 쿨롱 우물이지만, 핵심은 모양이 아니라 주기성 그 자체에 있습니다. 이 모형을 풀면 어떤 에너지는 전자에게 허용되고 (밴드), 어떤 에너지는 통째로 금지되는 (갭) 구조가 정확히 한 줄의 식으로 나타납니다.
How do "holes" get punched into what was a smooth parabola?
In empty space an electron's wave function is a plane wave $e^{ikx}$ with the same amplitude everywhere. Inside a crystal, however, positive ions spaced by a fixed interval $a$ add a periodic potential. In 1929 Felix Bloch determined the form that solutions must take in such a periodic potential — the Bloch theorem. The solution is a plane wave multiplied by a modulation $u_k(x)$ that oscillates with the same period as the lattice: $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$. Shifting by one lattice constant $a$ only changes the wave function's phase by $e^{ika}$; its shape repeats unchanged. Every electron in every crystal — silicon, diamond, anything — obeys this Bloch form.
Kronig and Penney inserted the simplest possible potential: wide wells alternating with narrow barriers of height $V_0$, repeating in a square pattern. The real atomic potential is a smooth Coulomb well, but the essential physics lies not in the shape but in the periodicity itself. Solving this model yields a structure where certain energies are allowed to electrons (bands) and others are entirely forbidden (gaps) — captured exactly in a single equation.
Q1 왜 하필 격자가 있으면 특정 에너지가 "금지"될까요? 자유전자에는 없던 일인데요.Why does a lattice cause certain energies to be "forbidden"? That never happened with free electrons.
Q2 갭이 모든 결정에 생긴다면, 금속과 부도체는 무엇이 다른 건가요?If gaps appear in every crystal, what distinguishes metals from insulators?
주기 $a$ 인 퍼텐셜 $V(x+a)=V(x)$ 속에서 슈뢰딩거 방정식의 해는 평면파에 격자 주기의 변조가 곱해진 $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$ 꼴입니다. 여기서 $u_k(x+a)=u_k(x)$ 이므로 한 칸 이동 시 파동함수는 위상만 바뀝니다. 그 결과 $k$ 는 첫 번째 브릴루앙 영역 $[-\pi/a, \pi/a]$ 안에서만 서로 다른 상태를 나타내고, $k$ 와 $k+2\pi/a$ 는 같은 상태가 됩니다. Inside a potential of period $a$, $V(x+a)=V(x)$, solutions to the Schrödinger equation take the form $\psi_k(x) = e^{ikx} u_k(x)$, a plane wave multiplied by a lattice-periodic modulation. Because $u_k(x+a)=u_k(x)$, shifting by one lattice constant only changes the phase. Consequently $k$ represents distinct states only inside the first Brillouin zone $[-\pi/a, \pi/a]$; $k$ and $k+2\pi/a$ describe the same state.
사각 퍼텐셜을 풀면 허용 에너지를 결정하는 조건이 $\cos(ka) = \cos(\alpha a) + P\,\dfrac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}$ 로 나옵니다. 여기서 $\alpha = \sqrt{2mE}/\hbar$ 는 에너지에 대응하는 파수이고, $P = m V_0 b a / \hbar^2$ 는 장벽의 세기를 나타내는 무차원 양입니다. 좌변 $\cos(ka)$ 는 언제나 $[-1, 1]$ 사이에 있어야 하므로, 우변이 이 범위를 벗어나는 에너지는 풀이가 존재하지 않습니다. 그 구간이 바로 금지대, 즉 밴드갭입니다. Solving the square-well potential yields the condition that determines allowed energies: $\cos(ka) = \cos(\alpha a) + P\,\dfrac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}$, where $\alpha = \sqrt{2mE}/\hbar$ is the wave vector corresponding to energy $E$ and $P = m V_0 b a / \hbar^2$ is a dimensionless measure of barrier strength. Because the left-hand side $\cos(ka)$ must always lie in $[-1, 1]$, any energy for which the right-hand side falls outside that range has no solution. Those energy intervals are the forbidden zones — the band gaps.
장벽이 셀수록 ($P$ 가 클수록) 우변이 더 멀리까지 튀어 나가 갭이 넓어집니다. 거의 자유전자 근사에서 첫 갭의 크기는 퍼텐셜의 1차 푸리에 성분의 두 배, $E_{g,1} \approx 2|V_1|$ 로 주어집니다. 흥미롭게도 이 한 식 안에 모든 경우가 들어 있습니다. $P=0$ (자유전자) 이면 우변이 $\cos(\alpha a)$ 가 되어 갭이 사라지고, $P\to\infty$ (완전히 고립된 우물) 이면 에너지가 띄엄띄엄한 원자 준위로 돌아갑니다. The stronger the barrier ($P$ larger), the further the right-hand side overshoots $\pm 1$ and the wider the gap. In the nearly-free-electron approximation, the first gap width is twice the first Fourier component of the potential: $E_{g,1} \approx 2|V_1|$. Remarkably, every limit lives inside this single equation. $P=0$ (free electron) reduces the right-hand side to $\cos(\alpha a)$, eliminating the gap; $P\to\infty$ (fully isolated wells) returns discrete atomic energy levels.
규칙적으로 늘어선 가로등 아래를 걷는다고 생각해 보세요. 어떤 보폭으로 걸으면 매번 똑같은 가로등 자리에 발이 닿아 리듬이 딱 맞아떨어집니다. 전자도 파장이 격자 간격과 맞아떨어지는 순간, 앞으로 나아가지 못하고 그 자리에서 출렁이는 정상파가 됩니다. 이때 "가로등 바로 위"에 머무느냐 "가로등 사이"에 머무느냐에 따라 에너지가 둘로 갈라지고, 그 사이의 빈 틈이 바로 금지된 에너지, 밴드갭입니다.
Imagine walking under a row of evenly spaced street lamps. At a particular stride length your foot lands on exactly the same lamp post position every time — the rhythm clicks. An electron whose wavelength matches the lattice spacing in exactly the same way can no longer propagate forward; instead it oscillates in place as a standing wave. Depending on whether it settles "right on top of a lamp post" or "between lamp posts" its energy splits into two values, and the empty gap between those two energies is the band gap.
주어진 $(V_0, b, a)$ 에서 $P = m V_0 b a / \hbar^2$ 를 계산한 뒤, 에너지 $E$ 를 시험적으로 넣어 $\alpha = \sqrt{2mE}/\hbar$ 를 구하고 우변 $f(E) = \cos(\alpha a) + P\sin(\alpha a)/(\alpha a)$ 를 평가합니다. $|f(E)| \le 1$ 이면 그 $E$ 는 허용대 안이고, $|f(E)| > 1$ 이면 금지대입니다. $E$ 를 0부터 차례로 훑으면 밴드와 갭이 번갈아 나타나는 전체 밴드 구조가 그려집니다. Given $(V_0, b, a)$, first compute $P = m V_0 b a / \hbar^2$. Then trial an energy $E$, obtain $\alpha = \sqrt{2mE}/\hbar$, and evaluate the right-hand side $f(E) = \cos(\alpha a) + P\sin(\alpha a)/(\alpha a)$. If $|f(E)| \le 1$, that energy lies inside an allowed band; if $|f(E)| > 1$ it is in a forbidden gap. Sweeping $E$ from zero upward maps the complete band structure of alternating bands and gaps.
1차원 장난감 모형이지만, 실제 3차원 결정의 갭과 정성적으로 같은 경향을 줍니다. 상온 기준 대표값으로 게르마늄은 약 0.66 eV, 실리콘은 약 1.12 eV, 갈륨비소(GaAs)는 약 1.42 eV이며, 부도체로 가면 다이아몬드가 약 5.5 eV, 비정질 $\text{SiO}_2$(석영 유리)가 약 9 eV에 이릅니다. 숫자가 클수록 전자가 갭을 넘기 어려워 절연성이 강해집니다. Although this is a one-dimensional toy model, it gives qualitatively the same trends as gaps in real three-dimensional crystals. Representative room-temperature values: germanium about 0.66 eV, silicon about 1.12 eV, gallium arsenide (GaAs) about 1.42 eV; for insulators, diamond about 5.5 eV and amorphous $\text{SiO}_2$ (fused silica) about 9 eV. The larger the number, the harder it is for electrons to cross the gap, and the stronger the insulating character.
단위 칸당 가전자가 홀수(예: 알칼리 금속의 1개)면 가장 위 밴드가 절반만 차서 페르미 준위가 밴드 안에 놓이고 금속이 됩니다. 짝수(예: 실리콘의 4개)면 밴드를 정확히 채우고 페르미 준위가 갭 한가운데 놓여, 갭 크기에 따라 반도체 또는 부도체가 됩니다. 자유전자 모형에 빠져 있던 바로 이 분류가 주기 퍼텐셜에서 자연스럽게 흘러나옵니다. If each unit cell has an odd number of valence electrons (e.g. one for an alkali metal), the topmost band is half-full, the Fermi level sits inside a band, and the material is a metal. If the number is even (e.g. four for silicon), one band fills exactly and the Fermi level sits in the gap; depending on gap size the material is a semiconductor or an insulator. This classification — absent in the free electron model — emerges naturally from the periodic potential.
$\cos(ka) = \cos(\alpha a) + P \cdot \dfrac{\sin(\alpha a)}{\alpha a}$, 한 식, 모든 밴드one equation, all bands
cos(ka) · 블로흐 위상을 담은 좌변으로, 언제나 [−1, 1] 사이에 있어야 합니다
cos(αa) · 우물 안에서 전자가 움직이며 쌓는 위상으로, α는 에너지의 제곱근에 비례합니다
P · sin(αa)/(αa) · 장벽이 만드는 효과로, P가 클수록 우변이 멀리 튀어 갭이 넓어집니다
cos(ka) · left-hand side carrying the Bloch phase, must always lie in [−1, 1]
cos(αa) · phase accumulated as the electron moves through the well; α is proportional to the square root of energy
P · sin(αa)/(αa) · barrier effect; larger P pushes the right-hand side further from ±1, widening the gap
밴드갭이 분류를 만든다.
Band gaps create classifications.
자유전자의 매끄러운 포물선에 주기 퍼텐셜이 더해지면, 전자파가 격자와 맞아떨어지는 지점에서 정상파가 갈라지며 밴드갭이 열립니다. 블로흐 정리가 그 해의 꼴을 말해 주고, 크로니그-페니 식 한 줄이 밴드와 갭의 위치를 정확히 잡아 줍니다. 우물 한 줄, 즉 주기성만 있으면 갭이 생기며, 금속과 반도체, 부도체의 차이는 그 밴드를 전자가 어디까지 채우는가에 달려 있을 뿐입니다. 다음 레슨에서는 이 세 부류를 밴드 그림으로 직접 비교합니다.
When a periodic potential is added to the free electron's smooth parabola, standing waves split at points where the electron wavelength matches the lattice, opening a band gap. Bloch's theorem tells us the form of the solution and the Kronig-Penney equation pins down the position of every band and gap. A single row of wells — periodicity alone — is enough to generate gaps. The difference between metals, semiconductors, and insulators lies only in how far electrons fill those bands. The next lesson places the band diagrams of all three classes side by side for direct comparison.
CHECK 스스로 확인하기Self-check
1. 크로니그-페니 식에서 장벽 세기 $P$ 가 0이 되면 어떤 일이 일어날까요?What happens in the Kronig-Penney equation when barrier strength $P$ equals zero?
→ 우변이 $\cos(\alpha a)$ 만 남아 항상 해가 존재합니다. 즉 갭이 사라지고 자유전자(매끄러운 포물선)로 돌아갑니다.
→ Only $\cos(\alpha a)$ remains on the right-hand side, always a valid solution. The gap disappears and the system returns to a free electron with a smooth parabola.
2. 밴드갭은 $k$ 공간의 어느 지점에서 열릴까요?At which point in k-space does a band gap open?
→ 브릴루앙 영역 경계 $k = \pm\pi/a$ 입니다. 이곳에서 전자파가 브래그 조건을 만족해 정상파가 두 에너지로 갈라집니다.
→ At the Brillouin zone boundary $k = \pm\pi/a$. There the electron wave satisfies the Bragg condition and the standing wave splits into two energies.
3. 단위 칸당 가전자가 4개인 실리콘이 금속이 아닌 까닭은?Why is silicon, with four valence electrons per unit cell, not a metal?
→ 짝수 개라 밴드를 정확히 가득 채우고 멈추기 때문입니다. 더 움직이려면 약 1.12 eV의 갭을 넘어야 하므로 반도체가 됩니다.
→ Because an even number of valence electrons exactly fills a band and stops. Moving further requires crossing the approximately 1.12 eV gap, making silicon a semiconductor.