Four numbers describe elasticity.
탄성 상수 4종, Young·Poisson·전단·체적
Four elastic constants — Young's modulus, Poisson's ratio, shear modulus, bulk modulus
앞 레슨에서 본 응력-변형 곡선의 처음 직선 구간, 즉 탄성 영역을 좀 더 깊이 들여다보겠습니다. 재료를 잡아당기면 길이만 늘어나는 것이 아닙니다. 동시에 옆구리가 살짝 가늘어지고, 비틀면 비틀리는 만큼 버티고, 사방에서 누르면 부피가 줄어듭니다. 놀랍게도 방향에 관계없이 성질이 같은 등방성(isotropic) 재료라면, 이 모든 탄성 거동이 단 네 개의 숫자로 완전히 설명됩니다.
Let us look more closely at the first linear portion of the stress-strain curve from the previous lesson — the elastic region. When a material is pulled, its length is not the only thing that changes. Simultaneously the sides contract slightly, resistance builds when it is twisted, and the volume shrinks when compressed uniformly from all sides. Remarkably, for an isotropic material — one whose properties are the same in every direction — all of this elastic behaviour is fully described by just four numbers.
그 네 가지는 잡아당김에 대한 뻣뻣함인 영률 E (Young's modulus), 당길 때 옆구리가 얼마나 가늘어지는지를 나타내는 푸아송비 ν (Poisson's ratio), 비틀기와 전단에 대한 저항인 전단탄성률 G (shear modulus), 그리고 사방에서 누를 때의 저항인 체적탄성률 K (bulk modulus)입니다. 그런데 이 넷 가운데 서로 독립인 것은 단 두 개뿐입니다. E 와 ν 만 알면 나머지 둘은 G = E / 2(1+ν), K = E / 3(1−2ν) 라는 관계식으로 자동으로 결정됩니다.
The four constants are: Young's modulus E, the stiffness against tension; Poisson's ratio ν, how much the sides contract when pulled; shear modulus G, resistance to twisting and shear; and bulk modulus K, resistance to uniform compression. Among these four, only two are independent. Once E and ν are known, the other two are fixed by G = E / 2(1+ν) and K = E / 3(1−2ν).
이 숫자들은 재료마다 천차만별입니다. 영률은 다이아몬드가 약 1200 GPa, 강철 약 200 GPa, 알루미늄 약 70 GPa, 고무는 0.01 GPa 수준으로 십만 배 넘게 차이가 납니다. 푸아송비는 코르크가 거의 0, 보통 금속이 0.3, 고무는 0.5 에 가깝고, 당기면 오히려 굵어지는 신기한 오그제틱(auxetic) 메타재료는 ν 가 음수입니다. 아래에서 재료를 바꾸며 한 변을 당겨 보고, 길이가 늘어나는 동안 옆구리가 어떻게 변하는지 직접 확인해 보세요.
These numbers differ enormously between materials. Young's modulus spans from diamond at about 1200 GPa down through steel at about 200 GPa, aluminium at about 70 GPa, and rubber at about 0.01 GPa — a range of over 100,000-fold. Poisson's ratio is nearly 0 for cork, about 0.3 for typical metals, and close to 0.5 for rubber, while auxetic metamaterials have a negative ν — they actually get thicker when pulled. Use the interactive below to switch materials and apply tension, and watch how the cross-section changes as the length grows.
두 개만 독립, 네 개가 모두 묘사.
Only two are independent — four describe it all.
왜 탄성 상수가 하필 네 개일까요, 그리고 왜 그중 둘은 나머지에서 저절로 따라 나올까요?
Why exactly four elastic constants, and why do only two of them carry independent information?
재료에 힘을 가하는 방식은 본질적으로 몇 가지뿐입니다. 한 방향으로 잡아당기거나(인장), 옆으로 밀어 비틀거나(전단), 사방에서 고르게 누르는(정수압) 것입니다. 각각의 변형 방식에 대해 "얼마나 잘 버티는가"를 하나의 숫자로 적은 것이 탄성 상수입니다. 잡아당김에는 영률 E, 전단에는 전단탄성률 G, 부피 압축에는 체적탄성률 K, 그리고 당길 때 옆구리가 오므라드는 정도에는 푸아송비 ν 가 대응합니다. 이름은 1678년 훅의 법칙에서 출발해 토머스 영(1807), 시메옹 푸아송 (1828)으로 이어지며 하나씩 붙었습니다.
The fundamental ways to load a material reduce to just a few: pull it in one direction (tension), slide it sideways (shear), or squeeze it uniformly from all sides (hydrostatic pressure). Each mode of deformation gets one number that captures "how well the material resists." Tension gets Young's modulus E, shear gets G, volumetric compression gets K, and the lateral contraction accompanying tension gets Poisson's ratio ν. The names accumulated gradually, from Hooke's law (1678) through Thomas Young (1807) and Siméon Poisson (1828).
그런데 등방성 재료, 즉 어느 방향으로 잘라도 성질이 똑같은 재료에서는 이 네 숫자가 모두 따로 노는 것이 아닙니다. 원자 사이의 결합이라는 단 하나의 본질에서 모든 탄성 거동이 나오기 때문에, 사실 독립된 정보는 두 개뿐입니다. 그래서 E 와 ν 만 측정하면 G 와 K 는 계산으로 구할 수 있습니다. 반대로 나무나 탄소섬유 복합재처럼 방향마다 성질이 다른 이방성 재료에서는 독립 상수가 훨씬 많아집니다(예: 입방 단결정 3개, 직교 이방성 9개).
In an isotropic material — one that looks the same in every direction — all four constants are not independent. Because every elastic response ultimately traces back to the same interatomic bonding, there are really only two independent pieces of information. Measuring E and ν is enough; G and K follow by calculation. In contrast, anisotropic materials such as wood or carbon-fibre composites behave differently depending on direction, so far more independent constants are needed (cubic single crystal: 3; orthotropic: 9).
Q1 영률 E 가 크다는 것은 "강하다"는 뜻인가요, "단단하다"는 뜻인가요?
Q1 Does a high Young's modulus E mean the material is "strong" or "stiff"?
Q2 고무의 푸아송비가 0.5 에 가깝다는 건 무슨 뜻인가요?
Q2 What does it mean that rubber's Poisson's ratio is close to 0.5?
Q3 당기면 오히려 굵어지는 재료(ν < 0)가 정말 있나요?
Q3 Can a material actually get thicker when pulled (ν < 0)?
한 방향으로 잡아당길 때 응력과 변형의 비율이 영률입니다. 식으로는 E = σ / ε 이고, 응력-변형 곡선 처음 직선 구간의 기울기와 같습니다. 단위는 응력과 같은 파스칼(보통 GPa)을 씁니다. E 가 클수록 같은 힘에 덜 늘어나므로 더 뻣뻣합니다. 다이아몬드 약 1200 GPa, 강철 약 200 GPa, 알루미늄 약 70 GPa, 고무 약 0.01 GPa 로 재료 사이 편차가 매우 큽니다. ① Young's modulus E, stiffness against tension
When pulled in one direction, the ratio of stress to strain is the Young's modulus. As an equation, E = σ / ε, equal to the slope of the first linear portion of the stress-strain curve. Its units are the same as stress, pascals (usually GPa). A larger E means less elongation under the same force, hence greater stiffness. The spread between materials is enormous: diamond about 1200 GPa, steel about 200 GPa, aluminium about 70 GPa, rubber about 0.01 GPa.
한 방향으로 ε 만큼 늘이면 수직 방향으로는 가늘어지는데, 그 가로 변형률 εt 와 세로 변형률의 비가 푸아송비입니다. ν = −εt / ε 로 정의하며(가늘어짐을 음수로 두기에 앞의 마이너스가 붙습니다), 보통 금속은 0.3 안팎입니다. 이론적으로 등방성 재료에서는 −1 < ν < 0.5 범위만 가능하며, 0.5 는 부피가 변하지 않는 한계입니다. ② Poisson's ratio ν, the lateral change when pulled
Stretching by ε in one direction makes the perpendicular directions contract, and the ratio of that transverse strain εt to the axial strain is the Poisson's ratio. It is defined as ν = −εt / ε (the leading minus sign treats contraction as negative), and most metals sit around 0.3. In theory, an isotropic material is limited to the range −1 < ν < 0.5, where 0.5 is the no-volume-change limit.
재료를 옆으로 밀어 어긋나게 하는 전단 응력 τ 와 전단 변형 γ 의 비가 전단탄성률입니다. τ = G·γ 로 쓰며, 축을 비틀 때(비틀림)의 강성을 좌우합니다. 등방성 재료에서는 G = E / 2(1+ν) 라는 관계로 E, ν 에서 곧장 나옵니다. 강철은 ν 가 0.3 이므로 G 가 E 의 약 0.38 배, 즉 약 77 GPa 입니다. ③ Shear modulus G, resistance to twisting
The ratio of shear stress τ, which slides the material sideways, to shear strain γ is the shear modulus. Written as τ = G·γ, it governs the stiffness when a shaft is twisted (torsion). In an isotropic material it follows directly from E and ν through G = E / 2(1+ν). For steel, with ν = 0.3, G is about 0.38 times E, that is roughly 77 GPa.
잠수함처럼 사방에서 고르게 압력을 받을 때 부피가 줄어드는 정도의 역수가 체적탄성률입니다. K = −V·(∂p/∂V) 로 정의하며, 클수록 부피가 잘 안 줄어듭니다. 액체와 기체에서도 정의되는 유일한 탄성 상수라는 점이 특별합니다. 등방성 고체에서는 K = E / 3(1−2ν) 이고, ν 가 0.5 에 다가가면 분모가 0 이 되어 K 가 무한대로 발산합니다(비압축성). ④ Bulk modulus K, resistance to volumetric compression
When subjected to uniform pressure from all sides, like a submarine, the inverse of how much the volume shrinks is the bulk modulus. Defined as K = −V·(∂p/∂V), a larger value means the volume resists shrinking. Notably, it is the only elastic constant also defined for liquids and gases. For isotropic solids, K = E / 3(1−2ν), and as ν approaches 0.5 the denominator goes to zero and K diverges to infinity (incompressible).
위 네 상수와 라메 상수까지 합쳐도, 등방성 재료라면 그중 어느 두 개만 정하면 나머지는 모두 계산됩니다. (E, ν) 한 쌍이 가장 흔히 쓰이지만 (G, K) 한 쌍을 써도 같은 정보를 담습니다. 반면 이방성 재료는 방향마다 거동이 달라 더 많은 상수가 필요합니다(입방 단결정 3개, 직교 이방성 9개, 완전 비대칭 21개). ⑤ Only two independent constants
Even counting the four constants above plus the Lamé constants, for an isotropic material fixing any two of them determines all the rest by calculation. The pair (E, ν) is most common, but the pair (G, K) carries the same information. Anisotropic materials, by contrast, behave differently along each direction and require many more constants (cubic single crystal: 3; orthotropic: 9; fully anisotropic: 21).
재료를 괴롭히는 방법은 당기기, 비틀기, 누르기 세 가지뿐입니다. 각각을 얼마나 잘 견디는지를 적은 점수가 E(당기기), G(비틀기), K(누르기)이고, 당길 때 옆구리가 얼마나 홀쭉해지는지가 ν 입니다. 신기하게도 이 점수표는 두 칸만 채우면 나머지가 저절로 채워집니다. 같은 결합에서 나온 같은 성격이기 때문입니다.
There are only three ways to stress a material: pull, twist, and squeeze. The scores for how well it withstands each are E (pull), G (twist), and K (squeeze), while ν records how much the sides slim down when pulled. Remarkably, fill in just two cells of this scorecard and the rest fill themselves in, because they all stem from the same bonding and share the same character.
3차원 응력-변형 관계는 σij = λ·δij·εkk + 2μ·εij 로 쓰며, 여기서 λ, μ 가 라메 상수(Lamé constants)입니다. μ 는 곧 전단탄성률 G 이고, λ = 2Gν / (1−2ν) 입니다. 이 두 라메 상수가 등방성 탄성을 완전히 규정하므로, "독립 상수가 둘"이라는 사실이 여기서 분명히 드러납니다. Generalized isotropic Hooke's law
The three-dimensional stress-strain relation is written σij = λ·δij·εkk + 2μ·εij, where λ and μ are the Lamé constants. Here μ is exactly the shear modulus G, and λ = 2Gν / (1−2ν). Because these two Lamé constants fully specify isotropic elasticity, the fact that there are "two independent constants" becomes clear right here.
가장 많이 쓰는 관계는 G = E / 2(1+ν), K = E / 3(1−2ν) 이며, 역으로 E = 9KG / (3K+G), ν = (3K−2G) / (2(3K+G)) 로도 변환됩니다. 어떤 한 쌍을 고르든 같은 등방성 탄성을 표현합니다. ν → 0.5 극한에서 K → ∞ (비압축), ν → −1 극한에서 K → 0 이 되는 것을 식에서 확인할 수 있습니다. Inter-conversion of the four constants
The most-used relations are G = E / 2(1+ν) and K = E / 3(1−2ν), and conversely E = 9KG / (3K+G) and ν = (3K−2G) / (2(3K+G)). Whichever pair is chosen, the same isotropic elasticity is expressed. The equations confirm that in the limit ν → 0.5, K → ∞ (incompressible), and in the limit ν → −1, K → 0.
일반적으로 탄성은 4계 강성 텐서 Cijkl 로 표현되며 최대 21개의 독립 성분을 가집니다. 결정 대칭성이 높아질수록 독립 성분이 줄어, 입방정은 3개(C11, C12, C44), 직교 이방성은 9개, 등방성은 단 2개로 축소됩니다. 등방성은 가장 대칭이 높은 특수한 경우인 셈입니다. Anisotropy and the stiffness tensor
In general, elasticity is expressed by the fourth-rank stiffness tensor Cijkl, with up to 21 independent components. As crystal symmetry increases, the number of independent components falls: cubic crystals have 3 (C11, C12, C44), orthotropic 9, and isotropy reduces to just 2. Isotropy is thus the special case of highest symmetry.
등방성 재료의 탄성은 당기기(E), 비틀기(G), 누르기(K), 그리고 옆구리의 변화(ν)라는 네 가지 척도로 나타내지만, 그중 독립인 것은 단 두 개입니다. G = E / 2(1+ν), K = E / 3(1−2ν) 라는 관계가 그 사실을 보여 줍니다. 강도가 같아도 이 탄성 상수가 다르면 처짐과 진동과 소음이 모두 달라지기에, 재료 선택은 강도와 탄성 상수를 함께 저울질하는 일입니다. 다음 레슨에서는 한 점에 걸리는 복잡한 응력 상태를 한눈에 읽는 도구인 모어 원(Mohr's circle)으로 넘어갑니다.
The elasticity of an isotropic material is captured by four measures, pulling (E), twisting (G), squeezing (K), and the lateral change (ν), yet only two of them are independent. The relations G = E / 2(1+ν) and K = E / 3(1−2ν) show this. Since differing elastic constants change deflection, vibration, and noise even at equal strength, material selection means weighing strength and elastic constants together. The next lesson moves on to Mohr's circle, the tool for reading at a glance the complex state of stress acting at a point.
CHECK 스스로 확인하기Check yourself
1. 강철(E=200 GPa, ν=0.30)의 전단탄성률 G 는 얼마쯤일까요?
→ G = E / 2(1+ν) = 200 / (2 × 1.30) ≈ 77 GPa 입니다.
2. 영률 E 가 큰 것과 강도가 큰 것은 같은 말인가요?
→ 다릅니다. E 는 뻣뻣함(같은 변형에 필요한 응력)이고, 강도는 부러지기 전 견디는 응력입니다. 다이아몬드는 E 는 크지만 충격에 쪼개질 수 있습니다.
3. 푸아송비가 0.5 에 가까운 재료를 강철 통에 가두고 누르면 어떻게 될까요?
→ 부피가 거의 변하지 않는 비압축성이라 옆으로 빠져나갈 데가 없어, 거의 단단한 쇠처럼 강하게 버팁니다(유압 마운트의 원리).
1. What is the shear modulus G of steel (E=200 GPa, ν=0.30)?
→ G = E / 2(1+ν) = 200 / (2 × 1.30) ≈ 77 GPa.
2. Is a large Young's modulus E the same as high strength?
→ No. E is stiffness (the stress needed for a given strain), while strength is the stress sustained before breaking. Diamond has a large E yet can shatter under impact.
3. What happens if you confine a material with ν near 0.5 in a steel cylinder and compress it?
→ Being nearly incompressible, its volume barely changes and it has nowhere to escape sideways, so it resists almost like solid steel (the principle of a hydraulic mount).