Rotate the cube, find principal stresses.
Mohr 원, 2D 응력 변환을 한 원 위에서
Mohr's circle: all 2-D stress transformations on a single circle
재료 안의 한 점에는 사실 무한히 많은 응력이 동시에 존재합니다. 같은 점이라도 어느 방향의 면을 자르느냐에 따라 받는 응력이 달라지지요. 그래서 "이 재료가 파괴될까요?" 라는 질문에 답하려면, 모든 가능한 면을 다 살펴봐야 합니다. 19세기 엔지니어들에게는 골치 아픈 계산이었어요.
At any single point inside a material there are in fact infinitely many stress states — one for every possible cutting plane. Because the stresses you see depend on which plane you choose, answering "will this material fail?" requires examining every orientation. For 19th-century engineers, that meant a painfully tedious set of trigonometric calculations.
1882년 독일의 엔지니어 Otto Mohr 가 우아한 답을 내놓았습니다. 모든 가능한 회전을 σ-τ 평면 위의 원 한 개 로 그릴 수 있다는 것이었어요. 원의 중심은 평균 응력, 반지름은 최대 전단 응력입니다. 원과 σ축이 만나는 두 점이 그 점이 받는 주응력 (principal stress) 이고, 다른 어떤 회전에서도 이 두 값을 넘는 직응력은 나오지 않습니다.
In 1882, German engineer Otto Mohr offered an elegant answer. Every possible plane rotation can be plotted as a single circle on the σ-τ plane. The circle's centre is the mean stress, and its radius equals the maximum shear stress. The two points where the circle meets the σ-axis are the principal stresses — no rotation will ever produce a normal stress larger than these two values.
이 단순한 그림 하나가 100년 넘게 모든 토목·기계 엔지니어의 표준 도구가 되었습니다. 댐의 안전 설계, 압력 용기의 두께 결정, 자동차 차체의 충돌 안전성 평가까지 모두 Mohr 원 위에서 이루어집니다. 아래 인터랙티브에서 입자 정육면체를 직접 회전시켜 보세요. 회전각에 따라 σ와 τ가 어떻게 변하는지, 그리고 그 궤적이 정말 원을 그리는지 두 눈으로 확인하실 수 있어요.
This simple diagram has been a standard tool for civil and mechanical engineers for over a century. Dam safety, pressure-vessel wall thickness, and automotive crash-safety assessments are all evaluated on Mohr's circle. Use the interactive below to vary σ_x, σ_y, and τ_xy directly and watch how the circle shifts — confirming that the trajectory really is a perfect circle.
회전이 응력을 다르게 보이게.
Rotation makes stress look different.
같은 한 점인데, 어떻게 받는 응력이 여러 개일 수 있을까요?
재료 속 한 점을 작은 정육면체라고 상상해 봅시다. 이 정육면체를 어떤 방향으로 잘라 보느냐에 따라, 그 잘린 면이 받는 직응력(σ)과 전단응력(τ)이 달라집니다. 가로로 자르면 잡아당기는 힘이 면에 똑바로 작용해 직응력이 크고, 비스듬히 자르면 면을 따라 미끄러뜨리는 전단응력이 함께 나타납니다. 그래서 "이 점이 위험한가"를 판단하려면 한 방향만 보아서는 안 되고, 정육면체를 모든 각도로 돌려 보며 가장 큰 응력이 어느 방향에서 나오는지를 찾아야 합니다.
19세기 엔지니어들에게 이것은 삼각함수가 잔뜩 들어간 골치 아픈 계산이었습니다. 그런데 1882년, 독일의 토목공학자 오토 모어(Otto Mohr)가 놀랍도록 우아한 방법을 내놓습니다. 가능한 모든 회전 각도에서의 (σ, τ) 값을 좌표평면 위에 찍으면, 그 점들이 정확히 하나의 원을 그린다는 것입니다. 이 원만 그리면 주응력도, 최대 전단응력도, 위험한 면의 방향도 자를 대고 읽어 낼 수 있습니다. 컴퓨터가 없던 시절, 이 그림 한 장은 혁명이었습니다.
If it is the same point, how can there be multiple stress values?
Imagine the material point as a tiny cube. Depending on which face you cut, the normal stress (σ) and shear stress (τ) acting on that face change. Cut horizontally and the pulling force acts squarely on the face, giving a large normal stress. Cut at an angle and the force gains a component that tries to slide one face over another, producing shear. So to judge whether a point is "in danger," looking at only one direction is not enough — you must rotate the cube through every angle and find where the largest stress appears.
For 19th-century engineers that meant pages of trigonometry. In 1882, German civil engineer Otto Mohr offered a remarkably elegant shortcut. If you plot the (σ, τ) pair for every possible rotation angle, the points trace out exactly one circle. Once you draw that circle, you can read off the principal stresses, the maximum shear stress, and the orientation of the most dangerous plane — all with a ruler. Before computers, this single diagram was a revolution.
Q1 왜 하필 원이 그려질까요? 직선이나 타원이 아니고요.Why does a circle appear — not a line or an ellipse?
응력 변환식을 보면 회전각 θ 에 대해 σ 와 τ 가 각각 cos2θ 와 sin2θ 의 조합으로 나옵니다. 그런데 cos 과 sin 의 제곱을 더하면 항상 1 이 되지요(cos²+sin²=1). 이 항등식 때문에, σ 를 중심에서 뺀 값과 τ 를 각각 제곱해 더하면 각도 θ 가 사라지고 일정한 상수(반지름의 제곱)만 남습니다. 바로 원의 방정식입니다. 즉 모어 원이 원인 것은 우연이 아니라, 응력 변환이 본질적으로 회전(삼각함수)이기 때문입니다. 그리고 실제 좌표를 θ 만큼 돌리면 원 위에서는 2θ 만큼 돈다는 점도 기억해 둘 만합니다.
The stress-transformation equations express σ and τ as combinations of cos 2θ and sin 2θ. Because cos²+sin²=1, when you square and add those two expressions the angle θ drops out and only a constant (the radius squared) remains — that is precisely the equation of a circle. Mohr's circle being a circle is therefore not a coincidence: stress transformation is fundamentally a rotation, and rotations naturally produce trigonometric pairs that satisfy the circle identity. Note also that a physical rotation by θ corresponds to moving 2θ around the circle.
Q2 주응력(principal stress)이 왜 그렇게 중요한가요?Why do principal stresses matter so much?
주응력은 전단응력이 0 이 되는 특별한 방향에서의 직응력입니다. 모어 원이 σ축과 만나는 두 점이 바로 주응력 σ1(최대)과 σ2(최소)이고, 다른 어떤 방향으로 돌려도 직응력은 이 두 값 사이를 벗어나지 않습니다. 즉 그 점이 받을 수 있는 가장 큰 인장과 가장 큰 압축이 바로 주응력입니다. 취성 재료는 인장 주응력이 한계를 넘으면 그 면에 수직으로 갈라지므로, 주응력의 크기와 방향을 알면 균열이 어디서 어느 방향으로 생길지를 미리 예측할 수 있습니다.
Principal stresses are the normal stresses that act on the special planes where shear stress equals zero. They correspond to the two points where Mohr's circle crosses the σ-axis: σ1 (maximum) and σ2 (minimum). No rotation will produce a normal stress outside this range — these are the extreme values. For brittle materials that crack perpendicular to the maximum tensile stress, knowing the magnitude and direction of σ1 lets you predict exactly where and in which direction a crack will form.
Q3 최대 전단응력은 왜 주축에서 45도 돌아간 곳에 나올까요?Why does maximum shear stress appear 45° away from the principal axes?
모어 원에서 전단응력 τ 는 세로축 값입니다. 원에서 τ 가 가장 큰 곳은 당연히 원의 꼭대기이고, 그 크기는 반지름 R 과 같습니다. 그런데 주응력 점(원이 σ축과 만나는 곳, τ=0)에서 원의 꼭대기까지는 원 위로 90도 떨어져 있습니다. 원 위의 2θ 가 실제로는 θ 이므로, 실제 재료에서는 주축에서 45도 돌아간 면에서 최대 전단이 생기는 것입니다. 연성 금속 시편을 잡아당기면 45도 방향으로 미끄러져 끊어지는 까닭이 바로 이것입니다.
On Mohr's circle, shear stress is the vertical coordinate. The point with the largest τ is naturally the top of the circle, and its magnitude equals the radius R. From the principal-stress points (where the circle meets the σ-axis, τ=0) to the top of the circle is 90° around the circle. Since the circle uses the doubled angle 2θ, 90° on the circle corresponds to 45° in the physical material. That is why a ductile tensile specimen shears and fractures along a 45° plane.
각도 θ 만큼 돌린 면이 받는 직응력과 전단응력은 다음과 같습니다. σx' = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2 · cos2θ + τxy · sin2θ, 그리고 τx'y' = −(σx−σy)/2 · sin2θ + τxy · cos2θ 입니다. 여기서 핵심은 각도가 2θ 로 들어간다는 점입니다. 면을 θ 만큼 돌리면 응력은 2θ 의 주기로 변합니다.
For a plane rotated by angle θ, the normal and shear stresses are: σx' = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2 · cos2θ + τxy · sin2θ, and τx'y' = −(σx−σy)/2 · sin2θ + τxy · cos2θ. The key observation is that the angle enters as 2θ: rotating the physical plane by θ produces a stress variation with period 2θ.
위 두 식에서 각도를 소거하면 원의 방정식이 나옵니다. 원의 중심은 σ축 위의 평균 응력 σavg = (σx+σy)/2 이고, 반지름은 R = √[((σx−σy)/2)2 + τxy2] 입니다. 한 점의 응력 상태(σx, σy, τxy)만 알면 이 원이 유일하게 정해지고, 그 안에 모든 회전 정보가 들어 있습니다.
Eliminating θ from the two transformation equations yields the circle equation. The centre lies on the σ-axis at the mean stress σavg = (σx+σy)/2, and the radius is R = √[((σx−σy)/2)2 + τxy2]. Given the three stress components (σx, σy, τxy), the circle is uniquely determined and encodes every rotation.
원이 σ축과 만나는 두 점이 주응력입니다. σ1,2 = σavg ± R 로, 평균 응력에서 반지름만큼 더하고 뺀 값입니다. 이 방향(주축)에서는 전단응력이 0 이며, 직응력은 가능한 최댓값과 최솟값을 가집니다. 주축의 방향은 tan2θp = 2τxy / (σx−σy) 로 구합니다.
The two points where the circle intersects the σ-axis are the principal stresses: σ1,2 = σavg ± R. On the corresponding planes (principal planes) the shear stress is zero, and the normal stresses reach their maximum and minimum possible values. The principal direction is given by tan2θp = 2τxy / (σx−σy).
최대 전단응력은 원의 반지름과 같아 τmax = R 이고, 주축에서 45도 돌아간 면에 작용합니다. 이 값으로 연성 재료의 항복을 판정하는 것이 트레스카(Tresca) 기준입니다. 더 정밀한 폰미제스(von Mises) 기준은 σv = √(σ12 − σ1σ2 + σ22) 가 항복강도에 이르면 항복한다고 봅니다. 둘 다 주응력에서 바로 계산됩니다.
The maximum shear stress equals the circle's radius: τmax = R, acting on planes 45° from the principal axes. The Tresca yield criterion uses this value: yielding occurs when τmax = σy/2. The more accurate von Mises criterion states that yielding begins when the distortion energy reaches the limit, equivalent to σv = √(σ12 − σ1σ2 + σ22) = σy. Both criteria follow directly from the principal stresses.
재료 속 한 점을 작은 주사위라고 생각하고 이리저리 돌려 보면, 어느 면은 세게 당겨지고 어느 면은 미끄러집니다. 이 모든 경우를 일일이 계산하는 대신, 모어는 그 점들을 좌표에 찍으면 깔끔한 원 하나가 된다는 걸 보였습니다. 원의 양 끝이 가장 센 당김(주응력), 원의 꼭대기가 가장 센 미끄러짐(최대 전단)입니다. 원 하나로 그 점의 운명을 다 읽는 셈입니다.
Think of a point inside a material as a tiny die. Rotate it this way and that — some faces get pulled hard, others slide. Instead of calculating each case separately, Mohr showed that plotting all those (σ, τ) pairs traces a clean circle. The two ends of the circle are the hardest pulls (principal stresses); the top of the circle is the hardest slide (maximum shear). One circle tells you everything about that point's fate.
σx' − σavg = (σx−σy)/2 · cos2θ + τxy · sin2θ 와 τx'y' = −(σx−σy)/2 · sin2θ + τxy · cos2θ 를 각각 제곱해 더하면 cos²2θ + sin²2θ = 1 에 의해 (σx' − σavg)2 + τx'y'2 = R2 가 되어, 중심 (σavg, 0), 반지름 R 인 원이 됩니다. 응력 변환이 곧 회전임을 보여 주는 결과입니다.
Writing σx' − σavg = (σx−σy)/2 · cos2θ + τxy · sin2θ and τx'y' = −(σx−σy)/2 · sin2θ + τxy · cos2θ, squaring and adding both sides and applying cos²2θ + sin²2θ = 1 gives (σx' − σavg)2 + τx'y'2 = R2 — a circle centred at (σavg, 0) with radius R. This demonstrates that stress transformation is fundamentally a rotation.
일반적인 3차원 응력 상태는 세 주응력 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 으로 표현되며, 각 쌍에 대해 하나씩 모두 세 개의 모어 원을 그립니다. 가능한 모든 응력은 가장 큰 원과 가장 작은 두 원 사이의 영역에 놓이고, 전체 최대 전단응력은 τmax = (σ1 − σ3)/2 로 가장 큰 원의 반지름이 됩니다.
A general 3-D stress state has three principal stresses σ1 ≥ σ2 ≥ σ3, giving three Mohr's circles (one for each pair). All physically possible stress states lie within or on the largest circle, and the overall maximum shear stress is τmax = (σ1 − σ3)/2 — the radius of the largest circle.
트레스카 기준은 τmax = σy/2 에서 항복한다고 보아 보수적이고 안전 측입니다. 폰미제스 기준은 뒤틀림 에너지(distortion energy)가 한계에 이를 때 항복한다고 보며, 실제 연성 금속 데이터와 더 잘 맞습니다. 평면 응력에서 두 기준의 항복면을 그리면 폰미제스 타원 안에 트레스카 육각형이 내접합니다.
The Tresca criterion (τmax = σy/2) is conservative and gives a safe-side estimate. The von Mises criterion, based on distortion energy, fits ductile-metal test data more accurately. Plotted in principal-stress space under plane-stress conditions, the Tresca hexagon inscribes inside the von Mises ellipse.
한 점의 응력은 어느 면을 보느냐에 따라 달라지지만, 모어 원은 그 모든 경우를 단 하나의 원으로 묶어 줍니다. 원의 양 끝은 주응력(가장 큰 인장·압축), 꼭대기는 최대 전단응력이며, 이 두 가지로 트레스카나 폰미제스 항복 기준을 적용해 안전을 판정합니다. 컴퓨터가 흔해진 오늘날에도 모어 원은 응력 상태를 직관적으로 이해하는 가장 좋은 그림으로 남아 있습니다. 다음 레슨에서는 이 응력들이 실제 부재에서 어떻게 생기는지, 비틀림과 굽힘의 응력 공식으로 들어갑니다.
Although stresses at a point depend on which face you examine, Mohr's circle packages every case into a single circle. The ends give the principal stresses (maximum tension/compression); the top gives the maximum shear — both feed directly into Tresca or von Mises yield criteria. Even in the computer age Mohr's circle remains the clearest visual tool for building stress intuition. The next lesson enters the stress formulas for real structural members: torsion and bending.
CHECK 스스로 확인하기Self-check
1. σx=100, σy=40, τxy=0 일 때 주응력은 무엇인가요?When σx=100, σy=40, τxy=0, what are the principal stresses?
→ 전단이 0 이므로 x, y 가 곧 주축입니다. σ1=100, σ2=40 (모어 원이 σ축 위에 그대로 놓입니다).→ With zero shear the x and y directions are already principal: σ1=100, σ2=40 MPa. Mohr's circle sits directly on the σ-axis.
2. 모어 원의 반지름은 무엇을 뜻하나요?What does the radius of Mohr's circle represent?
→ 그 점이 받을 수 있는 최대 전단응력 τmax 입니다. 동시에 주응력이 평균에서 얼마나 벌어져 있는지를 나타냅니다.→ It equals the maximum shear stress τmax at that point, and simultaneously shows how far the principal stresses deviate from the mean stress.
3. 연성 시편을 잡아당기면 왜 45도 방향으로 끊어질까요?Why does a ductile tensile specimen fracture at 45°?
→ 최대 전단응력이 주축(인장 방향)에서 45도 돌아간 면에 작용하고, 연성 재료는 전단으로 미끄러져 파괴되기 때문입니다.→ Maximum shear stress acts on the plane 45° from the tensile (principal) axis, and ductile materials fail by shear slip rather than direct tension.