Statics, three equations.
정역학, 모든 구조물이 따르는 세 방정식 (ΣF=0, ΣM=0)
Statics — the three equations every structure obeys
우리가 매일 건너는 다리, 머무는 건물, 올라타는 자전거는 모두 한 가지 공통점을 가집니다. 가만히 멈춰 있다는 것입니다. 움직이지 않는다는 말은 단순해 보여도 사실 엄청난 조건을 담고 있습니다. 구조물에 작용하는 모든 힘이 정확히 상쇄되고, 회전시키려는 모든 효과까지 균형을 이뤄야 비로소 그 자리에 그대로 머물 수 있기 때문입니다. 이 균형의 조건을 다루는 학문이 정역학(statics)이며, 놀랍게도 그 핵심은 단 세 개의 방정식으로 요약됩니다.
The bridge you cross every day, the building you work in, and the bicycle you ride all share one thing: they stand still. That stillness sounds simple, but it hides an enormous condition. Every force acting on the structure must be exactly cancelled by another, and every tendency to rotate must also be balanced, before the structure can hold its position. The discipline that handles these balance conditions is statics, and remarkably its entire foundation reduces to just three equations.
2차원에서 그 세 식은 가로 힘의 합이 0, 세로 힘의 합이 0, 그리고 회전 효과인 모멘트의 합이 0이라는 것입니다 ($\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$). 힘이 평형을 이루면 물체가 미끄러져 가지 않고, 모멘트가 평형을 이루면 물체가 빙글 돌지 않습니다. 이 세 식만으로 다리를 떠받치는 지지점의 반력을 정확히 계산할 수 있고, 보의 어느 단면이 가장 위험한지까지 알아낼 수 있습니다. 모든 구조 설계가 바로 여기에서 출발합니다.
In two dimensions, those three equations state that the sum of horizontal forces is zero, the sum of vertical forces is zero, and the sum of moments about any point is zero ($\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, $\sum M = 0$). Force equilibrium prevents sliding; moment equilibrium prevents rotation. With only these three equations you can calculate the reactions at every support of a bridge and identify which cross-section of a beam is under the greatest stress. All structural design starts here.
아래 보(beam) 실험실에서 하중의 크기와 위치를 슬라이더로 바꿔 보세요. 지지점이 받는 반력, 그리고 보의 각 단면에 걸리는 전단력과 굽힘 모멘트 그래프가 실시간으로 다시 그려집니다. 같은 보라도 양 끝을 어떻게 받치느냐(단순보·외팔보·돌출보)에 따라 힘의 흐름이 전혀 달라진다는 점을 눈으로 확인하면, 왜 다리와 발코니의 모양이 그렇게 생겼는지가 자연스럽게 보일 것입니다.
In the beam lab below, use the sliders to change the load magnitude and position. The support reactions and the shear force and bending moment diagrams update in real time. Watching how the same beam responds completely differently depending on how its ends are supported — simply supported, cantilever, overhanging — makes it clear why bridges and balconies look the way they do.
멈춰 있음을 만드는 세 개의 균형.
Three balances that keep things still.
"가만히 있다"는 것은 힘이 없다는 뜻일까요?
다리 위에 트럭이 올라가 있어도 다리는 미동도 하지 않습니다. 그렇다고 다리에 힘이 작용하지 않는 것은 결코 아닙니다. 오히려 엄청난 힘들이 서로 정확히 밀고 당기며 상쇄되고 있을 뿐입니다. 뉴턴은 물체가 정지 상태를 유지하려면 작용하는 모든 힘의 합이 0이어야 한다고 말했습니다. 그런데 힘의 합이 0이어도 물체가 빙글 돌 수 있습니다. 한쪽 끝만 밀면 제자리에서 회전하니까요. 그래서 회전을 일으키는 효과, 즉 모멘트의 합까지 0이 되어야 비로소 완전한 정지입니다.
모멘트란 힘이 어떤 점을 기준으로 회전시키려는 정도이며, 힘의 크기에 그 점까지의 팔 길이를 곱한 값입니다($M = F \times d$). 문을 손잡이 쪽에서 밀면 쉽게 열리지만 경첩 가까이에서 밀면 안 열리는 것이 바로 팔 길이의 차이입니다. 그래서 2차원 구조물의 평형 조건은 가로 힘, 세로 힘, 그리고 모멘트라는 세 가지 합이 모두 0이어야 한다는 단 세 줄로 정리됩니다. 아래에서 자주 헷갈리는 질문 두 가지를 먼저 풀어 보겠습니다.
Does "standing still" mean there are no forces?
A heavily loaded truck sits on a bridge without the bridge moving at all. That does not mean no forces are acting. Enormous forces are pushing and pulling against each other, cancelling out exactly. Newton established that for a body to remain at rest, the sum of all forces acting on it must be zero. But even with zero net force, a body can still spin — push on one end and it rotates in place. So the rotational effect, the moment, must also sum to zero before the body is truly stationary.
A moment is a force's tendency to rotate a body about a reference point, equal to the force magnitude multiplied by the perpendicular distance to that point ($M = F \times d$). Pushing a door at the handle opens it easily; pushing near the hinge barely moves it — that is the arm-length difference. The equilibrium condition for a 2D structure therefore reduces to three lines: horizontal forces sum to zero, vertical forces sum to zero, and moments about any point sum to zero. Two frequently confused questions follow.
Q1 핀(pin)과 롤러(roller), 왜 다리는 한쪽만 굴러가게 받칠까요?
Q1 Pin vs roller — why does a bridge have a roller on one end?
Q2 보에서 가장 위험한 지점은 어떻게 찾을까요?
Q2 How do you find the most dangerous cross-section in a beam?
Three equilibrium equations
움직이지 않는 (정적) 모든 강체는 다음 세 식을 동시에 만족해야 합니다 (2D 기준):
2차원에서는 방정식이 세 개이므로 미지수도 정확히 세 개일 때 깔끔하게 풀립니다. 3차원에서는 힘 세 방향과 모멘트 세 축으로 식이 여섯 개가 되지요. 단순보는 핀(미지수 2개)과 롤러(미지수 1개)를 더해 미지수가 정확히 셋이라, 평형 식 세 개만으로 모든 반력이 결정됩니다. 이런 구조를 정정(statically determinate)이라 부릅니다. 만약 지지점을 더 두어 미지수가 식보다 많아지면(부정정, statically indeterminate), 평형 식만으로는 부족해 앞 레슨의 변형(인장) 관계까지 함께 동원해야 합니다.
Every rigid body in static equilibrium must simultaneously satisfy three equations (in 2D): $$\sum F_x = 0,\quad \sum F_y = 0,\quad \sum M_{(\text{any point})} = 0$$ Because there are three equations, the system is solvable only when there are exactly three unknown reaction components. In 3D the count rises to six (three force and three moment equations). A simply supported beam carries a pin (two unknowns) and a roller (one unknown), giving exactly three, so all reactions are determined by equilibrium alone — this is called a statically determinate structure. If extra supports are added so that unknowns exceed equations (statically indeterminate), equilibrium equations alone are insufficient and deformation compatibility conditions must also be used.
Free Body Diagram (FBD), 풀이의 출발점, the starting point of every solution
자유물체도(FBD)는 관심 있는 부재 하나만 주변에서 똑 떼어 내어, 그 위에 작용하는 모든 힘을 빠짐없이 그린 그림입니다. 여기에는 작용 하중과 자체 무게 같은 외력, 지지점이 되돌려 주는 반력, 그리고 각 힘의 방향이 모두 들어갑니다. 모든 정역학 문제는 예외 없이 이 그림을 그리는 데서 시작합니다. 지지점마다 어떤 반력이 생기는지는 다음과 같습니다.
- 핀(pin): 가로·세로 두 방향을 붙잡아 반력 두 개를 주고, 회전은 자유롭게 둡니다(모멘트 없음).
- 롤러(roller): 구를 수 있어 수직 반력 한 개만 주고, 수평 방향은 놓아 줍니다.
- 고정 지지(fixed): 가로·세로 반력과 회전을 막는 모멘트까지 세 가지를 모두 줍니다(외팔보).
자유물체도를 잘못 그리면 그 뒤의 모든 계산이 어긋납니다. 그래서 능숙한 엔지니어와 그렇지 않은 엔지니어의 차이는 대부분 이 그림을 정확하게 그리느냐에서 갈린다고 말하기도 합니다.
A Free Body Diagram isolates a single member of interest from its surroundings and shows every force acting on it without exception — applied loads, self-weight, and the reactions supplied by the supports, each with its direction. Every statics problem starts by drawing this diagram. The reactions each support type provides are:
- Pin: restrains horizontal and vertical translation, providing two reaction components; rotation remains free (no moment reaction).
- Roller: can slide horizontally, so it provides only a single vertical reaction component.
- Fixed support: restrains all translation and rotation, providing two force reactions and one moment reaction (used in cantilever beams).
An incorrect FBD propagates errors through every subsequent calculation. It is often said that the gap between an experienced engineer and a novice lies mostly in the ability to draw this diagram correctly.
Shear & Moment diagrams
보의 어느 한 단면 $x$가 받는 힘은 두 가지로 나뉩니다. 단면을 위아래로 어긋나게 미는 전단력 $V(x)$와, 단면을 휘게 하는 굽힘 모멘트 $M(x)$입니다. 이 값들은 보를 그 지점에서 가상으로 잘랐다고 상상하고, 한쪽 부분만의 평형을 따져 구합니다.
가장 중요한 관계는 굽힘 모멘트를 위치로 미분하면 전단력이 된다는 사실입니다($dM/dx = V$). 미분이 0인 곳에서 함수가 극값을 가지므로, 굽힘 모멘트가 최대가 되는 위험 단면은 전단력이 0이 되는 지점에 나타납니다. 보의 어디가 가장 위태로운지를 단번에 짚어 주는 이 사실이 다리와 자동차 차축 설계의 출발점이 됩니다.
Any cross-section at position $x$ along a beam experiences two internal quantities: shear force $V(x)$, which tends to slide the two faces past each other, and bending moment $M(x)$, which bends the beam. Both are found by imagining a cut at $x$ and applying equilibrium to one side only. $$V(x) = \sum_{i \le x} F_i,\quad M(x) = \int_0^x V(x')\,dx'\ \Big(=\sum_{i \le x} F_i\cdot(x-x_i)\Big)$$ The most important relationship is $dM/dx = V$. Because a function reaches its maximum where its derivative is zero, the cross-section with the largest bending moment — where the beam is most likely to break — occurs wherever the shear force is zero. This single fact is the starting point for bridge and axle design.
실제 적용, 3 가지 정답 케이스
Three textbook cases
단순보 (simply supported)
외팔보 (cantilever)
트러스 (truss)
핵심은 이것입니다. 정역학의 세 방정식($\sum F = 0$, $\sum M = 0$)은 똑같지만, 그것을 어떻게 적용하느냐에 따라 같은 강철이 다리도 되고 발코니도 되고 자전거 프레임도 됩니다. 만약 지지점이 많아 미지수가 식보다 많아지면(부정정), 앞 레슨에서 배운 인장 변형 관계까지 함께 써야 풀립니다. 여러 경간이 이어진 연속보가 바로 그런 사례입니다.
Simply supported beam
Cantilever beam
Truss
The core insight: the three equations ($\sum F = 0$, $\sum M = 0$) are always the same, but how they are applied with different support conditions turns the same steel into a bridge, a balcony, or a bicycle frame. When extra supports make the structure statically indeterminate, the equilibrium equations must be supplemented with deformation compatibility relations (as introduced in the previous lesson). Continuous beams spanning multiple spans are a classic indeterminate example.
2차원에서 정지해 있는 강체는 가로 힘의 합이 0이고($\sum F_x = 0$), 세로 힘의 합이 0이며($\sum F_y = 0$), 임의의 한 점을 기준으로 한 모멘트의 합이 0이라는($\sum M = 0$) 세 조건을 동시에 만족합니다. 식이 세 개이므로 미지의 반력도 정확히 세 개일 때 깔끔하게 풀립니다. 단순보는 핀이 반력 두 개, 롤러가 반력 한 개를 주어 합이 정확히 셋이라, 평형 식만으로 모든 반력이 결정되는 정정 구조입니다.
모멘트는 힘의 크기에 그 힘이 작용하는 지점까지의 수직 거리, 즉 팔 길이를 곱한 값입니다($M = F \times d$). 문을 손잡이 쪽에서 밀면 쉽게 열리지만 경첩 가까이에서는 잘 열리지 않는 것이 바로 이 팔 길이의 차이 때문입니다. 그래서 반력을 풀 때는 미지수가 가장 많이 모이는 지점을 기준점으로 잡으면, 그 점에 대한 모멘트가 0이 되면서 미지수 하나만 남아 단번에 값이 나옵니다.
보의 어느 단면 $x$가 받는 힘은 단면을 위아래로 어긋나게 미는 전단력 $V(x)$와, 단면을 휘게 하는 굽힘 모멘트 $M(x)$로 나뉩니다. 둘 사이에는 굽힘 모멘트를 위치로 미분하면 전단력이 된다는($dM/dx = V$) 깊은 관계가 있습니다. 미분이 0인 곳에서 함수가 극값을 가지므로, 보가 가장 휘어 부러지기 쉬운 위험 단면은 언제나 전단력이 0이 되는 지점에 나타납니다.
A 2D rigid body at rest satisfies three simultaneous conditions: $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$, and $\sum M = 0$ about any chosen point. Because there are three equations, the unknowns (reaction components) must also be exactly three for a clean solution. A simply supported beam carries a pin (two reactions) and a roller (one reaction), giving exactly three — making it a statically determinate structure that is solved entirely by equilibrium.
A moment is the force multiplied by the perpendicular arm length to the reference point ($M = F \times d$). Pushing a door at the handle (large arm) opens it easily; pushing near the hinge (small arm) barely moves it. When solving for unknown reactions, choosing the reference point at the location where the most unknowns intersect eliminates all but one unknown from the moment equation, giving an immediate solution.
At any cross-section $x$, a beam experiences shear force $V(x)$ (tending to slide the two faces past each other) and bending moment $M(x)$ (tending to curve the beam). These are related by $dM/dx = V$. Since a function has an extremum where its derivative is zero, the cross-section with maximum bending moment — where the beam is most likely to break — always occurs where $V = 0$.
가만히 멈춰 있는 다리는 힘이 없는 것이 아니라, 엄청난 힘들이 줄다리기처럼 정확히 비기고 있는 상태입니다. 좌우로도 비기고(가로 힘), 위아래로도 비기고(세로 힘), 빙글 돌게 만드는 효과까지 비길 때(모멘트) 비로소 다리는 그 자리에 그대로 머뭅니다. 그리고 보가 부러질 위치는 의외로 쉽게 찾을 수 있는데, 옆 패널의 전단력 그래프가 가로축을 지나는 바로 그 지점이 가장 크게 휘는 곳입니다.
A still bridge is not a bridge with no forces — it is a bridge where enormous forces are engaged in a perfect tug-of-war, cancelling left-right, up-down, and rotationally. All three pulls balance at once, and only then does the bridge hold its position. And finding where a beam will break is surprisingly straightforward: look at the shear force graph in the side panel and find where it crosses zero — that is the point of maximum bending, the most dangerous cross-section.
좌측에 핀(A), 우측에 롤러(B)를 둔 길이 $L$의 단순보에 집중하중 $P$가 좌측에서 거리 $a$에 작용한다고 합시다. A점에 대한 모멘트 평형 $\sum M_A = 0$ 에서 $R_B \cdot L = P \cdot a$ 이므로 $R_B = Pa/L$ 이고, 세로 힘 평형 $\sum F_y = 0$ 에서 $R_A = P - R_B = P(L-a)/L$ 입니다. 하중이 지지점에 가까울수록 그쪽 반력이 커진다는 직관과 정확히 맞습니다.
단순보에 세기 $w$의 등분포 하중이 전체에 걸리면 두 반력은 각각 $wL/2$ 로 같고, 굽힘 모멘트는 보 한가운데에서 최대가 되어 $M_{max} = wL^2/8$ 입니다. 외팔보의 끝에 집중하중 $P$가 걸리면 벽에 붙은 고정단에서 $M_{max} = PL$ 로 가장 크며, 그래서 외팔보는 안쪽을 두껍게 하고 끝으로 갈수록 가늘게 설계합니다.
미지 반력 수가 평형 식 수(2D에서 3개)와 같으면 정정 구조로 평형 식만으로 풀립니다. 지지점을 늘려 미지수가 식보다 많아지면 부정정 구조가 되며, 평형 식만으로는 부족해 부재의 변형(인장·굽힘) 적합 조건까지 함께 세워야 풀립니다. 여러 경간이 이어진 연속보, 양단 고정보가 대표적인 부정정 사례입니다.
A beam of length $L$ has a pin at A (left) and a roller at B (right). A point load $P$ acts at distance $a$ from A. Taking moments about A: $\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \cdot L = P \cdot a \Rightarrow R_B = Pa/L$. From vertical equilibrium: $\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A = P - R_B = P(L-a)/L$. The result confirms the intuition that the reaction is largest at the support closest to the load.
For a simply supported beam with uniform load $w$ over its full length, both reactions equal $wL/2$ by symmetry, and the bending moment is maximum at midspan: $M_{max} = wL^2/8$. For a cantilever with a tip load $P$, the maximum moment occurs at the fixed end: $M_{max} = PL$. This is why cantilevers are designed thicker at the root and tapered toward the free end.
When the number of unknown reactions equals the number of equilibrium equations (3 in 2D), the structure is statically determinate and equilibrium alone is sufficient. Adding extra supports increases unknowns beyond equations, producing a statically indeterminate structure; compatibility conditions relating deformations must be added. Continuous beams over multiple spans and beams fixed at both ends are classic indeterminate examples.
오늘의 핵심은 두 가지입니다. 첫째, 정지해 있는 모든 구조물은 가로 힘, 세로 힘, 모멘트라는 세 가지 합이 모두 0이라는 단 세 줄의 평형 식을 따른다는 점입니다. 둘째, 굽힘 모멘트가 가장 큰 위험 단면은 전단력이 0이 되는 지점에 나타난다는 점입니다. 이 두 가지만 손에 쥐면 다리의 반력을 풀고, 발코니의 위험한 곳을 짚고, 자전거 프레임이 왜 삼각형인지를 모두 설명할 수 있습니다. 다음 장에서는 이렇게 구한 힘이 재료 안에서 어떤 응력과 변형을 만드는지로 이어집니다.
Two things matter most from this lesson. First, every static structure obeys three equilibrium equations — zero horizontal force, zero vertical force, zero moment — without exception. Second, the most dangerous cross-section of a beam is found wherever the shear force is zero, because that is where the bending moment peaks. Armed with these two principles you can calculate support reactions for a bridge, identify where a balcony is most at risk, and explain why bicycle frames are triangulated. The next lesson traces how these forces translate into stress and strain inside the material.
CHECK 스스로 확인하기
1. 길이 6 m 단순보 한가운데에 12 kN 집중하중이 걸립니다. 두 지지점의 반력은 각각 얼마일까요?
→ 하중이 정중앙이라 대칭이므로 두 반력이 같습니다. 각각 6 kN 입니다.
2. 다리를 양쪽 모두 핀으로 고정하면 왜 위험할까요?
→ 열팽창으로 늘어나려 할 때 양쪽이 꽉 잡고 있어 빠져나갈 곳이 없으므로 큰 압축력이 생기고, 좌굴이나 파손으로 이어질 수 있습니다. 그래서 한쪽은 롤러로 받칩니다.
3. 보에서 가장 부러지기 쉬운 단면은 어떻게 단번에 찾을까요?
→ 전단력 그래프가 0을 지나는 위치를 찾으면 됩니다. $dM/dx = V$ 이므로 그 지점에서 굽힘 모멘트가 최대가 되기 때문입니다.
CHECK Self-check
1. A simply supported beam of length 6 m carries a 12 kN point load at midspan. What are the two support reactions?
→ By symmetry the load is equidistant from both supports, so both reactions are equal: each is 6 kN.
2. Why is pinning both ends of a bridge dangerous?
→ When the bridge tries to expand with heat, both ends resist, so large compressive forces build up in the members, potentially causing buckling or cracking. One end must be a roller to allow free thermal movement.
3. How do you find the most fracture-prone cross-section of a beam at a glance?
→ Locate where the shear force diagram crosses zero. Because $dM/dx = V$, the bending moment is maximum at that point.