CH03_CRYSTAL
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LESSON01 / 07
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LANGKO+EN
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VERIFIED2026.05.26

Four ways atoms
stack.

단위격자와 결정, 원자가 쌓이는 네 가지 방식

Unit cells & crystals — four ways atoms arrange themselves

다이아몬드와 흑연은 둘 다 탄소 원자 하나로만 이루어져 있습니다. 그런데 하나는 지구에서 가장 단단한 물질이고, 다른 하나는 연필심처럼 손으로 문지르면 부스러집니다. 똑같은 원자인데 왜 이렇게 다를까요. 답은 원자가 어떤 자리에 어떻게 배열되어 있는가에 있습니다.

Diamond and graphite are both made of nothing but carbon atoms. Yet one is the hardest substance on Earth, while the other crumbles like pencil lead when you rub it. Identical atoms — so why are they so different? The answer lies in where and how the atoms are arranged.

정육면체를 하나 떠올려 보세요. 원자는 여덟 개의 꼭짓점에 앉을 수도 있고, 여섯 면의 한가운데에 앉을 수도 있으며, 정육면체의 정중앙에 하나가 더 들어갈 수도 있습니다. 이렇게 앉는 자리가 달라지는 것만으로 물질의 단단함, 잘 늘어나는 성질(연성), 전기와 열을 전달하는 능력, 심지어 빛에 반응하는 방식까지 거의 모든 성질이 바뀝니다.

Imagine a cube. Atoms can sit on eight corners, in the centre of six faces, or there can be one extra atom right at the middle of the cube. Changing only which sites are occupied alters virtually every property — hardness, ductility, electrical and thermal conductivity, even how the material responds to light.

화면을 마우스로 돌려 가며 네 가지 구조 버튼을 눌러 직접 비교해 보세요. 그리고 아래 다섯 가지 원리에서, 흔히 외우라고만 하는 숫자들이 사실은 어디서 어떻게 나오는지 하나씩 인터랙티브하게 따라가 보시기 바랍니다.

Rotate the model with your mouse and click through the four structure buttons to compare directly. Then follow the five principles below to trace where the numbers you are usually asked to memorise actually come from — step by step and interactively.

Lesson 02 · 원자 클릭으로 깊이Atom-level view → Chapter Overview
FCC · Cu · mp-30 DRAG TO ROTATE
No. 01
SCROLL / PINCH TO ZOOM
APF · 원자충전율Atomic Packing Factor 단위격자 부피 중 원자가 차지하는 비율Fraction of the unit-cell volume occupied by atoms
0.74
계산 풀이Derivation
아래 "Principle 04 · APF" 섹션에 7단계 유도 + 슬라이더 위젯이 있습니다.See "Principle 04 · APF" below — 7-step derivation + slider widget.
CN · 배위수Coordination Number 한 원자에 가장 가까운 이웃 원자의 수Number of nearest-neighbour atoms for one atom
12
계산 풀이Derivation
"Principle 03 · 배위수" 섹션에 4 구조별 이웃 위치 + 인터랙티브 위젯."Principle 03 · Coordination Number" — neighbour positions for all 4 structures + interactive widget.
N · 단위격자 당 원자수Atoms per unit cell 공유 원자를 분수로 세고 모두 합한 수Sum of fractional contributions from all shared atoms
4
계산 풀이Derivation
"Principle 02 · 원자수" 에 1/8, 1/2 공유 위젯 + 4 구조별 단계 계산."Principle 02 · Atom count" — 1/8 and 1/2 sharing widget + step-by-step count for all 4 structures.
a · 격자상수Lattice parameter 단위격자 한 변의 길이 (실험값, X-ray 회절로 측정)Edge length of the unit cell (experimental; measured by X-ray diffraction)
3.615 Å
출처Source
"Principle 05 · 격자상수" 에 Bragg 법칙 + 8 물질 실험값."Principle 05 · Lattice parameter" — Bragg's law + experimental values for 8 materials.
Principles · 5개5

왜 그 숫자인가

Why these numbers?

Where these numbers come from — derived and visualized.

왜 똑같은 탄소가 다이아몬드도 되고 연필심도 될까요?

물질의 성질은 어떤 원자로 이루어졌는가만으로 정해지지 않습니다. 그 원자들이 공간에 어떻게 배열되어 있는가가 똑같이 중요합니다. 다이아몬드와 흑연이 둘 다 순수한 탄소인데도 단단함과 전기 전도성이 전혀 다른 이유가 바로 여기에 있습니다. 원자들이 규칙적으로 반복되는 배열을 결정(crystal)이라 부르고, 그 반복의 최소 단위를 단위격자(unit cell)라고 합니다.

이 레슨은 단위격자를 읽는 다섯 가지 핵심 숫자를 다룹니다. 셀이 실제로 소유하는 원자 수(N), 한 원자의 가장 가까운 이웃 수인 배위수(CN), 공간이 원자로 얼마나 채워졌는지를 나타내는 충전율(APF), 그리고 셀 한 변의 길이인 격자상수(a) 입니다. 교과서가 흔히 외우라고만 하는 이 숫자들이 사실은 어디서 어떻게 나오는지, 아래에서 한 단계씩 직접 유도하며 따라가 봅니다.

Why can the same carbon atom become both a diamond and a pencil lead?

The properties of a material are not determined solely by what atoms it contains. How those atoms are arranged in space matters just as much. That is why diamond and graphite, both pure carbon, differ so dramatically in hardness and electrical conductivity. A periodically repeating arrangement of atoms is called a crystal, and the smallest repeating unit is called a unit cell.

This lesson covers five key numbers that characterise a unit cell: the number of atoms the cell actually owns (N), the coordination number (CN) — how many nearest neighbours each atom has — the atomic packing factor (APF) — how much of the cell volume is filled by atoms — and the lattice parameter (a), the edge length of the cell. Below, each of these numbers is derived step by step rather than simply memorised.

단위격자 Unit Cell

결정을 만드는 가장 작은 반복 부피.

The smallest repeating volume that builds a crystal.

직관Intuition

레고 블록 하나를 무한 복사해 거대한 성을 짓는 것과 같습니다. 그 "하나의 블록"이 단위격자입니다. 결정 전체를 이해할 필요 없이, 단위격자 한 개만 잘 알면 그 물질의 결정학적 성질 거의 전부를 알 수 있습니다.

Think of it as taking one Lego brick and replicating it infinitely to build an enormous castle. That single brick is the unit cell. You do not need to study the entire crystal; knowing one unit cell gives you nearly all of its crystallographic properties.

원리Principle

결정이란 어떤 단위 구조가 3축 방향으로 정확히 반복되는 패턴입니다. 유리(amorphous, 비정질)는 이 반복성이 없어서 결정이 아닙니다.

A crystal is a pattern in which a unit structure repeats exactly along three axes. Glass (amorphous) lacks this periodicity and is therefore not a crystal.

단위격자를 정의하는 세 벡터를 격자 벡터 a₁, a₂, a₃ 라 합니다. 격자점은 어느 위치든 정수 조합으로 표현됩니다.

The three vectors that define the unit cell are called lattice vectors a₁, a₂, a₃. Any lattice point can be expressed as an integer combination of these vectors.

격자 벡터의 수학Academic · the maths of lattice vectors
정의Def. 격자 벡터 a₁, a₂, a₃ 와 격자점 집합Lattice vectors a₁, a₂, a₃ and the set of lattice points
$$ \mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3, \quad n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z} $$
어떤 격자점이든 정수 계수의 조합으로 표현됩니다.Any lattice point can be expressed as an integer-coefficient combination.
부피Volume 단위격자 부피 (스칼라 삼중곱)Unit-cell volume (scalar triple product)
$$ V_{cell} = |\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)| $$
cubic 정육면체 격자의 특수 케이스Special case of a cubic lattice
$$ V_{cell} = a^3 $$
출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.3 p.61  TXT Kittel 8e Ch.1 p.4  TXT Hammond 4e Ch.2

단위격자 당 원자수 N

셀이 "소유"하는 원자 수. 공유 원자는 분수로 센다.

Atoms the cell truly "owns" — shared atoms count as fractions.

직관Intuition

꼭짓점에 있는 원자는 인접한 여덟 개 셀이 함께 공유하므로, 이 셀이 가진 몫은 1/8뿐입니다. 면 중앙의 원자는 양쪽 두 셀이 나눠 가지므로 1/2이고, 격자 내부의 원자는 온전히 1입니다.

A corner atom is shared by eight adjacent cells, so this cell's share is only 1/8. A face-centre atom is shared by two cells, giving 1/2; an interior atom belongs entirely to this cell, contributing 1.

밝은 시안 = 우리 셀 · 어두운 회색 = 이 원자를 공유하는 다른 셀들Bright cyan = our cell · dark grey = other cells sharing this atom
공유 분수 규칙Principle · sharing-fraction rule
  • 꼭짓점 (corner) = 8개 셀 공유 → 1/8 기여
  • 모서리 (edge) = 4개 셀 공유 → 1/4 기여
  • 면 (face) = 2개 셀 공유 → 1/2 기여
  • 내부 (body) = 셀 단독 → 1 기여
  • Corner = shared by 8 cells → contributes 1/8
  • Edge = shared by 4 cells → contributes 1/4
  • Face = shared by 2 cells → contributes 1/2
  • Interior (body) = owned by this cell alone → contributes 1
4 구조 각각Derivation · each of the 4 structures
BCC 꼭짓점 8개 + body 중앙 1개8 corners + 1 body-centre
$$ N_{BCC} = 8 \times \tfrac{1}{8} + 1 \times 1 = 1 + 1 = \mathbf{2} $$
FCC 꼭짓점 8개 + 면 중앙 6개8 corners + 6 face-centres
$$ N_{FCC} = 8 \times \tfrac{1}{8} + 6 \times \tfrac{1}{2} = 1 + 3 = \mathbf{4} $$
HCP 관행 육방프리즘: 꼭짓점 12 + 면 2 + 내부 3Conventional hexagonal prism: 12 corners + 2 faces + 3 interior
$$ N_{HCP} = 12 \times \tfrac{1}{6} + 2 \times \tfrac{1}{2} + 3 = 2 + 1 + 3 = \mathbf{6} $$
육방 꼭짓점은 60도씩 여섯 개 셀이 공유하므로 각각 1/6씩 기여합니다.Each hexagonal corner is shared by six cells at 60° intervals, so each contributes 1/6.
Diamond FCC(=4) + 내부 4 (¼,¼,¼ 변위 basis)FCC (=4) + 4 interior (basis displaced by ¼,¼,¼)
$$ N_{Diamond} = 4 + 4 = \mathbf{8} $$
출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.4 p.63-67  TXT Kittel 8e Ch.1 Table 2

배위수 Coordination Number (CN)

한 원자의 가장 가까운 이웃 수, 구조의 빽빽함을 직접 알려준다.

Number of nearest neighbours for one atom — a direct measure of how densely packed the structure is.

직관Intuition

방 안에 사람이 빼곡할수록 한 사람이 직접 어깨를 맞댈 이웃이 많아집니다. 결정도 똑같습니다. 가장 빽빽한 구조 (FCC·HCP)는 CN = 12, 좀 덜한 BCC는 8, 열린 다이아몬드 구조는 단 4.

The more tightly packed a room, the more neighbours each person can touch shoulder-to-shoulder. Crystals work the same way. The densest structures (FCC and HCP) have CN = 12; the moderately packed BCC has 8; the open diamond structure has only 4.

흰 원자 = 중심 · 라임 = 가장 가까운 이웃 · 라임 선 = 거리White atom = centre · lime = nearest neighbours · lime lines = distances
어디에 이웃이 있는가Principle · where the neighbours sit
  • BCC (CN = 8): body 중심 원자에서 8개 꼭짓점이 가장 가까운 이웃. 거리 = √3 a / 2
  • FCC (CN = 12): 같은 평면 4 + 위 평면 4 + 아래 평면 4 = 12. 거리 = a / √2
  • HCP (CN = 12): 같은 평면 6 + 위 평면 3 + 아래 평면 3 = 12. FCC 와 같은 CN, 둘 다 close-packed
  • Diamond (CN = 4): sp³ 공유결합. 정사면체 4 방향만. 거리 = √3 a / 4
  • BCC (CN = 8): from the body-centre atom, the 8 corners are the nearest neighbours. Distance = √3 a / 2
  • FCC (CN = 12): 4 in the same plane + 4 in the plane above + 4 in the plane below = 12. Distance = a / √2
  • HCP (CN = 12): 6 in the same plane + 3 above + 3 below = 12. Same CN as FCC; both are close-packed.
  • Diamond (CN = 4): sp³ covalent bonding; only 4 tetrahedral directions. Distance = √3 a / 4
구조별 비교Examples · comparison by structure
구조StructureCN이웃 거리Neighbour distance왜Why
BCC8√3 a / 2body ↔ corner 8 방향body ↔ corner, 8 directions
FCC12a / √2close-packed, 3 평면 × 4close-packed, 3 planes × 4
HCP12aclose-packed, ABAB stack
Diamond4√3 a / 4sp³ tetrahedral
출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.4 p.65  TXT Kittel 8e Ch.1  TXT Hull & Bacon 5e Ch.1

원자충전율 Atomic Packing Factor (APF)

단위격자 부피 중 원자가 차지하는 비율, 단단함·밀도·전도성의 출발점.

Fraction of the unit-cell volume occupied by atoms — the starting point for hardness, density, and conductivity.

직관Intuition

같은 상자 (단위격자) 안에 같은 크기 공 (원자)을 가장 빽빽이 넣는 방법은 정해져 있습니다. 그 한계가 약 0.7405 (74%), FCC와 HCP만 도달합니다. BCC는 0.68, 다이아몬드는 0.34로 훨씬 열려 있습니다.

There is a definite maximum for how tightly you can pack identical spheres (atoms) into the same box (unit cell). That limit is approximately 0.7405 (74%), reached only by FCC and HCP. BCC achieves 0.68, and diamond is far more open at 0.34.

r0.30
APF0.45
상태Status덜 빽빽Less dense
일반 공식Principle · the general formula

"셀 안의 원자 부피 합 / 셀 부피". 원자는 강체 구로 가정합니다 (hard sphere). 원자들이 가장 가까이 닿는 방향을 찾는 것이 핵심입니다.

"Total atomic volume inside the cell / cell volume." Atoms are modelled as hard spheres. The key step is finding the direction along which atoms touch.

$$ APF = \frac{N \cdot V_{atom}}{V_{cell}} = \frac{N \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3}{V_{cell}} $$
FCC 단계별Derivation · FCC step by step
1 단위격자 원자 수 (원리 2 에서)Atoms per unit cell (from Principle 2)
$$ N = 4 $$
2 FCC 에서 원자가 닿는 방향 찾기Find the touching direction in FCC
면 대각선 방향으로 corner, face, corner 세 원자가 연속해서 닿습니다.Along the face diagonal, three atoms (corner, face, corner) touch in succession.
$$ \text{면 대각선 길이} = 4r $$
3 면 대각선과 변 a 의 관계 (피타고라스)Relating the face diagonal to edge a (Pythagoras)
$$ \text{면 대각선} = \sqrt{2}\, a $$
4 a 를 r 로 표현Express a in terms of r
$$ \sqrt{2}\,a = 4r \;\Rightarrow\; a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r $$
5 셀 부피 계산Compute the cell volume
$$ V_{cell} = a^3 = (2\sqrt{2}\,r)^3 = 16\sqrt{2}\,r^3 $$
6 원자 총 부피Total atomic volume
$$ N \cdot V_{atom} = 4 \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3 = \tfrac{16}{3}\pi r^3 $$
7 APF 최종 (모든 r 소거됨, 구조 고유 상수)Final APF (all r cancels — a structure-specific constant)
$$ APF_{FCC} = \frac{\tfrac{16}{3}\pi r^3}{16\sqrt{2}\,r^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.7405 $$
원자 크기 r이 식에서 사라진 것이 핵심입니다. APF는 "구조"의 성질이지 "원소"의 성질이 아닙니다.The key point is that the atomic radius r drops out of the equation. APF is a property of the structure, not of the element.
4 구조 APF 비교Examples · APF across the 4 structures
구조StructureAPF닿는 방향Touching direction유도 결과Derived result
BCC0.6802body 대각선 (=4r)body diagonal (=4r)π√3 / 8
FCC0.7405면 대각선 (=4r)face diagonal (=4r)π / 3√2
HCP (ideal)0.7405같은 평면 (=2r)within the same plane (=2r)π / 3√2
Diamond0.3401(¼,¼,¼) 방향 (=2r)(¼,¼,¼) direction (=2r)π√3 / 16
출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.4 p.65  TXT Kittel 8e Ch.1 Table 2  TXT Hammond 4e Ch.5

격자상수 Lattice Parameter (a)

단위격자 한 변의 길이, 모든 거리·밀도 계산의 시작점.

Edge length of the unit cell — the starting point for every distance and density calculation.

직관Intuition

레고 블록의 "한 칸 크기". 구리(Cu)는 3.615 Å, 텅스텐(W)은 3.165 Å. 원소마다 원자 크기와 결합 길이가 달라서 격자상수도 다릅니다. 1 Å = 0.1 nm = 10⁻¹⁰ m.

The "grid spacing" of the Lego brick. Copper (Cu) has 3.615 Å; tungsten (W) has 3.165 Å. Each element has its own atomic size and bond length, which sets its lattice parameter. 1 Å = 0.1 nm = 10⁻¹⁰ m.

incoming X-ray (λ) reflected θ θ d nλ = 2d sin θ    — Bragg's Law
Bragg 법칙, 격자면 간격 d 와 입사각 θ 에서 강한 회절. d 측정 → 격자상수 a 결정.Bragg's Law — strong diffraction at plane spacing d and glancing angle θ. Measuring d yields the lattice parameter a.
어떻게 측정하나Principle · how it is measured

X선 회절 (X-ray Diffraction, XRD)로 측정합니다. X선 파장 λ 가 격자면 간격 d 와 일치하면 강한 회절 피크가 나타납니다.

The lattice parameter is measured by X-ray Diffraction (XRD). When the X-ray wavelength λ matches the plane spacing d, a strong diffraction peak appears.

$$ \text{Bragg's Law:} \quad n\lambda = 2d \sin\theta $$

피크 각도 θ 를 측정 → d 계산 → cubic 구조에서:

Measure peak angle θ → compute d → for cubic structures:

$$ d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} \;\Rightarrow\; a = d_{hkl} \sqrt{h^2 + k^2 + l^2} $$
실험값 (298 K, ambient)Examples · experimental values (298 K, ambient)
물질Material구조Structurea (Å)출처 (MP id)Source (MP id)
Cu (구리)Cu (copper)FCC3.6150mp-30
α-Fe (페라이트)α-Fe (ferrite)BCC2.8665mp-13
MgHCPa=3.2094, c=5.2107mp-153
AlFCC4.0495mp-134
WBCC3.1652mp-91
Si (실리콘)Si (silicon)Diamond5.4309mp-149
C (다이아)C (diamond)Diamond3.5667mp-66
NaClRock-salt5.6402mp-22862
출처Sources

TXT Kittel 8e Ch.1 Table 1  TXT Hammond 4e (Bragg)  DB Materials Project · 각 mp-XXXindividual mp-XXX

쉽게 말하면In plain terms

결정은 같은 모양의 레고 블록(단위격자)을 빈틈없이 무한히 이어 붙여 만든 거대한 구조물입니다. 블록을 어떤 방식으로 쌓느냐, 즉 꼭짓점에만 둘지 면 중앙까지 채울지 정중앙까지 넣을지에 따라, 같은 원자라도 단단함과 밀도, 전기·열 전도성이 완전히 달라집니다. 그래서 블록 하나의 구조만 정확히 알면 그 물질의 성질 대부분을 읽어낼 수 있습니다.

A crystal is a vast structure built by seamlessly repeating a single Lego brick (the unit cell) an infinite number of times. Whether you place atoms only at the corners, also at the face centres, or right in the middle changes the hardness, density, electrical conductivity, and thermal conductivity of the material entirely — even when the atom itself is identical. That is why knowing the structure of just one unit cell lets you read off most of the material's properties.

CHECK 스스로 확인하기Self-check

1. FCC와 BCC 중 단위격자 안에 더 많은 원자(N)를 품는 쪽은 어디일까요?
→ FCC(N=4)가 BCC(N=2)보다 많습니다. 꼭짓점 8×1/8=1은 같지만, FCC는 면 중앙 6×1/2=3을, BCC는 내부 1×1=1을 더 갖기 때문입니다.Which has more atoms per unit cell (N) — FCC or BCC?
→ FCC (N=4) holds more than BCC (N=2). Corner contributions 8×1/8=1 are the same, but FCC adds face-centre 6×1/2=3 while BCC adds body-centre 1×1=1.

2. 충전율 APF가 원자 반지름 r에 의존하지 않는 이유는 무엇일까요?
→ 유도 과정에서 셀 부피와 원자 부피가 모두 r³에 비례해 r이 약분되기 때문입니다. APF는 원소가 아니라 '구조'의 성질입니다.Why is the APF independent of the atomic radius r?
→ Because both the cell volume and the atom volume scale as r³, so r cancels in the derivation. APF is a property of the structure, not of the element.

3. 격자상수 a는 어떻게 측정할까요?
→ X선 회절(XRD)로 잽니다. 브래그 식 $n\lambda = 2d\sin\theta$ 에서 회절 피크 각도 θ를 측정해 면 간격 d를 구하고, 다시 격자상수 a를 계산합니다.How is the lattice parameter a measured?
→ By X-ray diffraction (XRD). From Bragg's equation $n\lambda = 2d\sin\theta$, the diffraction peak angle θ is measured, the plane spacing d is calculated, and from that the lattice parameter a is determined.

"FCC and HCP share the same packing — 0.74 — but stack in a different order."
면심입방과 육방조밀은 같은 충전율이지만 쌓는 순서가 다릅니다 (ABCABC vs ABAB). 이 작은 차이가 변형 특성을 완전히 결정합니다. Lesson 02·05 에서 자세히 다룹니다.
Face-centred cubic and hexagonal close-packed share the same packing efficiency but stack in a different order (ABCABC vs. ABAB). This small difference entirely determines their deformation characteristics. Covered in detail in Lessons 02 and 05.
TXT Callister 10e Ch.3.4 p.65 · TXT Kittel 8e Ch.1 Table 2 · DB Materials Project · mp-30
이어서 볼 개념Related concepts
CH.03 · L02원자 단위로 보기Atom-level view CH.03 · L03Bravais 격자Bravais lattices CH.03 · L04Miller 지수Miller indices CH.02 · L01화학 결합Chemical bonds
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