How heat flows through metal.
열적 물성, 전도·팽창·비열
Thermal properties: conductivity, expansion, heat capacity
구리 컵에 뜨거운 물을 부으면 손이 거의 즉시 뜨거워집니다. 그런데 도자기 컵에 같은 물을 부어 보면 한참이 지나야 손이 뜨거워지지요. 두 컵 모두 같은 모양, 같은 두께인데도 왜 이렇게 다를까요.
Pour hot water into a copper cup and your hand feels the heat almost instantly. Do the same with a ceramic cup and it stays lukewarm for quite a while. Both cups are the same shape and thickness — so why the difference?
답은 세 가지 숫자에 숨어 있습니다. 열전도도 k 는 열이 얼마나 쉽게 흐르는지를, 열팽창 α 는 온도가 오르면 얼마나 늘어나는지를, 비열 c_p 는 같은 열을 받아도 얼마나 잘 덥혀지는지를 알려줍니다. 이 세 숫자가 함께 결정하는 양이 바로 열확산율 α_diff = k / (ρ c_p) 입니다. 같은 시간 동안 열이 얼마나 멀리 퍼지는지의 진짜 척도이지요.
The answer is hidden in three numbers. Thermal conductivity k tells you how easily heat flows; thermal expansion coefficient α tells you how much a material expands when heated; specific heat c_p tells you how readily it warms up for a given input of heat. Together these three determine a single quantity: the thermal diffusivity α_diff = k / (ρ c_p) — the true measure of how far heat spreads in a given time.
이 레슨에서는 1820년대 푸리에가 처음 적은 열 방정식을 직접 만져 봅니다. 아래 sandbox 의 1 차원 막대 왼쪽 끝을 600 K 로 가열하면, 시간이 흐르며 색깔이 오른쪽으로 번져 가는 모습을 볼 수 있습니다. 재료를 다섯 가지 (구리, 알루미늄, 연강, 알루미나 세라믹, PE 고분자) 로 바꾸며 열이 퍼지는 속도가 얼마나 달라지는지 비교해 보세요. 반도체 칩의 방열판부터 우주선의 단열재까지, 모든 열 설계가 바로 이 세 숫자에서 출발합니다.
In this lesson you interact with the heat equation that Fourier first wrote down in the 1820s. Heat the left end of the 1D bar in the sandbox below to 600 K and watch the colour spread rightward over time. Switch between five materials (copper, aluminium, mild steel, alumina ceramic, PE polymer) and compare how differently heat propagates in each. From heat sinks on semiconductor chips to thermal insulation on spacecraft, every thermal design begins with these three numbers.
세 숫자로 읽는 열의 행동.
Three numbers that govern heat.
같은 모양, 같은 두께의 컵인데 왜 어떤 컵은 손을 데이게 하고 어떤 컵은 한참 미지근할까요?
열이 어떻게 움직이는지는 사실 딱 세 가지 성질이 결정합니다. 첫째는 열이 얼마나 잘 흐르는지를 말하는 열전도도 k, 둘째는 온도가 오를 때 얼마나 늘어나는지를 말하는 열팽창 계수 α, 셋째는 같은 열을 받아도 온도가 얼마나 천천히 오르는지를 말하는 비열 cp 입니다. 구리 컵이 금세 뜨거워지는 것은 구리의 k 가 크기 때문이고, 도자기 컵이 한참 미지근한 것은 세라믹의 k 가 작기 때문입니다. 손에 닿는 그 느낌 하나가 사실은 재료 깊숙한 곳의 숫자에서 나옵니다.
그런데 열이 "얼마나 빨리 퍼지는지"를 진짜로 말해 주는 양은 k 하나만이 아닙니다. 열을 받아들이면 그만큼 데워야 할 질량과 비열이 있어서, 셋을 묶은 열확산율 αdiff = k / (ρ cp) 이 전파 속도를 결정합니다. 위 sandbox 에서 막대 왼쪽 끝을 600 K 로 가열하면 색이 오른쪽으로 번져 가는데, 이 번지는 속도가 바로 αdiff 입니다. 구리와 PE 고분자를 번갈아 골라 보면 같은 시간 동안 열이 얼마나 다르게 퍼지는지 눈으로 확인할 수 있습니다.
Two cups of identical shape and thickness — why does one burn your hand while the other stays lukewarm?
Only three material properties determine how heat moves. First, thermal conductivity k tells you how readily heat flows. Second, thermal expansion coefficient α tells you how much the material stretches when temperature rises. Third, specific heat cp tells you how slowly temperature climbs for a given heat input. The copper cup heats up instantly because copper's k is large; the ceramic cup stays lukewarm because ceramics have a small k. That simple sensation in your hand traces back to numbers deep inside the material.
Yet k alone does not tell you "how fast heat spreads." The material must also warm up its own mass, which depends on density and specific heat. All three together determine the thermal diffusivity αdiff = k / (ρ cp) — the true propagation speed. In the sandbox above, heating the left end of the bar to 600 K makes colour spread rightward; that spreading rate is exactly αdiff. Alternate between copper and PE polymer to see just how different the same time interval looks.
Q1 금속은 왜 열을 그렇게 잘 전달할까요?
Q1 Why do metals conduct heat so well?
Q2 한여름에 철도 레일이 휘는 이유가 정말 열팽창 때문일까요?
Q2 Do railway tracks really buckle in summer because of thermal expansion?
Q3 바닷가가 내륙보다 기온 변화가 적은 것도 재료의 성질로 설명될까요?
Q3 Can material properties explain why coastal climates are milder than inland ones?
1822년 조제프 푸리에는 열의 흐름이 온도의 기울기에 비례한다는 사실을 수식으로 적었습니다. 열이 단위 시간, 단위 면적당 흐르는 양을 열유속 q 라 하면 q = −k (dT/dx) 입니다. 여기서 비례 상수 k 가 바로 열전도도이고, 마이너스 부호는 열이 항상 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로 흐른다는 뜻입니다. 길이 L, 단면적 A 인 막대 양끝에 온도차 ΔT 가 있을 때 흐르는 열량은 Q/t = k·A·ΔT / L 로 정리됩니다.
온도가 ΔT 만큼 오르면 길이는 ΔL = α·L₀·ΔT 만큼 늘어납니다. α 는 원래 길이 1 m 당 1 K 마다 얼마나 늘어나는지를 나타내는 선팽창 계수로, 금속은 보통 10~25 × 10⁻⁶ /K, 세라믹은 그보다 작고, 고분자는 훨씬 큽니다. 세 방향으로 모두 늘어나는 부피 팽창 계수는 등방성 재료에서 대략 β ≈ 3α 가 됩니다.
비열 cp 가 클수록 같은 열을 받아도 온도가 천천히 오릅니다. 그래서 열이 "퍼지는 속도"는 k 만으로는 알 수 없고, 데워야 할 질량 (밀도 ρ)과 비열까지 함께 따져야 합니다. 이 셋을 묶은 것이 열확산율 αdiff = k / (ρ cp) 이며, 단위는 면적/시간(m²/s) 입니다. 구리는 약 116 mm²/s 로, 1 cm 거리에 열이 약 1초 만에 전파된다는 뜻입니다.
In 1822, Joseph Fourier showed mathematically that heat flux is proportional to the temperature gradient. If q denotes the heat flowing per unit time per unit area, then q = −k (dT/dx). The proportionality constant k is the thermal conductivity; the minus sign means heat always flows from hot to cold. For a bar of length L and cross-sectional area A with a temperature difference ΔT across its ends, the total heat flow rate is Q/t = k·A·ΔT / L.
When temperature rises by ΔT, length increases by ΔL = α·L₀·ΔT. The linear expansion coefficient α describes how many metres of elongation occur per metre of original length per kelvin of temperature change. Metals typically fall in the range 10–25 × 10⁻⁶ /K; ceramics are smaller; polymers are much larger. For an isotropic material the volumetric expansion coefficient is approximately β ≈ 3α.
A larger specific heat cp means temperature rises more slowly for the same heat input. Therefore the "speed at which heat spreads" cannot be read from k alone — the mass to be warmed (density ρ) and the specific heat must both be considered. Combining all three gives the thermal diffusivity αdiff = k / (ρ cp), with units of area per time (m²/s). Copper's value is about 116 mm²/s, meaning heat travels roughly 1 cm in about 1 second.
열을 사람들이 이어 나르는 양동이 릴레이라고 생각해 보세요. 금속은 자유 전자라는 빠른 일꾼이 많아서 양동이가 순식간에 끝까지 전달되고 (높은 k), 세라믹이나 플라스틱은 일꾼이 부족해 한참 걸립니다(낮은 k). 비열은 각 사람이 물을 받아 들기 전에 자기 컵부터 채워야 하는 양이라, 컵이 큰 물(높은 비열)은 데우는 데 시간이 오래 걸립니다. 그래서 컵 크기와 일꾼 수를 함께 봐야 진짜 전달 속도(열확산율)를 알 수 있습니다.
Think of heat as a bucket brigade passing water down a line. Metals have many fast workers — free electrons — so the bucket reaches the end almost instantly (high k). Ceramics and plastics have few workers, so the relay takes much longer (low k). Specific heat is like each person needing to fill their own cup before passing the bucket: a person with a large cup (high specific heat) takes longer to get going. To know the true delivery speed (thermal diffusivity), you must consider both the cup size and the number of workers together.
푸리에 법칙을 벡터로 쓰면 $\vec{q} = -k\,\nabla T$ 이고, 에너지 보존과 결합하면 시간에 따라 온도가 어떻게 변하는지를 말해 주는 열(확산) 방정식 $\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha_{\text{diff}}\,\nabla^2 T$ 가 나옵니다. 여기서 $\alpha_{\text{diff}} = \dfrac{k}{\rho\,c_p}$ 가 위 sandbox 의 핵심 변수입니다. 확산 방정식의 특성상 열이 거리 $x$ 만큼 퍼지는 데 걸리는 시간은 $t \sim x^2 / \alpha_{\text{diff}}$ 로, 거리의 제곱에 비례합니다.
고온에서 고체 금속의 몰 비열은 원자 1개당 진동 자유도 6개(운동·위치 각 3방향)에서 나와 $C_v \approx 3R$ 로 일정해지는데, 이를 뒬롱-프티 법칙이라 합니다. 질량당 비열로 보면 $c_p \approx 3R/M$ 이라 가벼운 원자(Li, Be)일수록 큰 비열을 가집니다. 다만 저온에서는 양자 효과로 비열이 데바이 모형의 $T^3$ 의존을 따르며 0으로 떨어집니다.
금속에서 전자가 열과 전기를 함께 나르기 때문에, 열전도도와 전기전도도의 비는 온도에 비례합니다: $\dfrac{k}{\sigma\,T} = L_0$, 로렌츠 수 $L_0 \approx 2.44\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega/K^2}$. 좋은 전기 도체가 좋은 열 도체이기도 한 까닭이 바로 여기에 있습니다.
Written in vector form, Fourier's law reads $\vec{q} = -k\,\nabla T$. Combined with energy conservation it yields the heat (diffusion) equation $\dfrac{\partial T}{\partial t} = \alpha_{\text{diff}}\,\nabla^2 T$, which describes how temperature evolves over time. Here $\alpha_{\text{diff}} = \dfrac{k}{\rho\,c_p}$ is the key variable of the sandbox above. A defining feature of the diffusion equation is that the time for heat to spread a distance $x$ scales as $t \sim x^2 / \alpha_{\text{diff}}$, proportional to the square of the distance.
At high temperature, the molar heat capacity of a solid metal arises from six vibrational degrees of freedom per atom (kinetic and potential, three directions each), giving the constant value $C_v \approx 3R$, known as the Dulong–Petit law. Expressed per unit mass, $c_p \approx 3R/M$, so lighter atoms (Li, Be) have larger specific heats. At low temperature, however, quantum effects make the specific heat follow the Debye-model $T^3$ dependence and fall toward zero.
In metals the same electrons carry both heat and electric charge, so the ratio of thermal to electrical conductivity is proportional to temperature: $\dfrac{k}{\sigma\,T} = L_0$, with the Lorenz number $L_0 \approx 2.44\times10^{-8}\ \mathrm{W\,\Omega/K^2}$. This is precisely why a good electrical conductor is also a good thermal conductor.
열의 행동은 세 숫자, 열전도도 k·열팽창 계수 α·비열 cp 로 거의 다 설명됩니다. 열을 빠르게 옮기고 싶으면 k 가 큰 금속을, 막고 싶으면 k 가 작은 세라믹이나 공기를 고릅니다. 온도가 오르내리는 곳에서는 부품끼리 α 를 맞춰 응력을 피하고, 열을 저장하거나 완만하게 다루고 싶으면 비열이 큰 물을 씁니다. 그리고 "얼마나 빨리 퍼지는가"의 진짜 답은 셋을 묶은 열확산율 αdiff = k / (ρ cp) 에 있습니다. 다음 레슨에서는 같은 자유 전자가 이번엔 전기를 어떻게 나르는지(전기 전도도)를 보게 됩니다.
The thermal behaviour of any material is almost entirely captured by three numbers: thermal conductivity k, thermal expansion coefficient α, and specific heat cp. To move heat quickly, choose a metal with high k; to block it, choose a ceramic or still air with low k. Where temperature cycles repeatedly, match the α values of adjoining parts to avoid stress; where heat storage or gentle handling is needed, use water with its high specific heat. The true measure of how fast heat spreads is the thermal diffusivity αdiff = k / (ρ cp), which combines all three. The next lesson shows how those same free electrons carry electricity instead of heat.
CHECK 스스로 확인하기
1. 구리(k=400)와 PE 고분자(k=0.4) 중 같은 두께에서 손이 더 빨리 뜨거워지는 쪽은?
→ 구리입니다. k 가 약 1000배 크기 때문에 같은 온도차에서 열이 훨씬 빠르게 흐릅니다.
2. α = 12 × 10⁻⁶ /K 인 강철 100 m 레일이 30 K 더워지면 얼마나 늘어날까요?
→ ΔL = α·L₀·ΔT = 12×10⁻⁶ × 100 × 30 = 0.036 m, 즉 약 3.6 cm 입니다.
3. k 가 같아도 열이 퍼지는 속도가 다를 수 있는 이유는?
→ 전파 속도는 k 만이 아니라 열확산율 αdiff = k/(ρ cp) 가 결정하기 때문입니다. 밀도와 비열이 다르면 같은 k 라도 속도가 달라집니다.
CHECK Self-check
1. Between copper (k = 400 W/m·K) and PE polymer (k = 0.4 W/m·K) at the same thickness, which heats your hand faster?
→ Copper. Its k is about 1000 times larger, so heat flows far faster for the same temperature difference.
2. A 100 m steel rail with α = 12 × 10⁻⁶ /K warms by 30 K. How much does it expand?
→ ΔL = α·L₀·ΔT = 12×10⁻⁶ × 100 × 30 = 0.036 m, i.e. about 3.6 cm.
3. Why can two materials with the same k spread heat at different speeds?
→ Because propagation speed is governed by thermal diffusivity αdiff = k/(ρ cp), not k alone. Different densities and specific heats mean different diffusivities even when k is identical.