Atomic Packing Factor.
Lesson 05 · APF 와 이론 밀도, 원소를 누르면 자동 유도
Lesson 05 · APF and theoretical density — auto-computed when you pick an element
"구리의 밀도가 왜 하필 8.96 g/cm³ 일까요?" 보통은 표에서 찾아 외우고 마는 이 숫자를, 이번 레슨에서는 우리가 직접 계산해 봅니다. 놀랍게도 결정 구조와 원자 몇 개 분량의 정보만 있으면, 그 물질의 밀도는 종이와 연필만으로 거의 정확하게 구할 수 있습니다.
"Why is copper's density exactly 8.96 g/cm³?" Most textbooks tell you to look it up and memorize it. In this lesson we derive it ourselves. Remarkably, with nothing more than the crystal structure and a few atomic-scale numbers, you can calculate the density to paper-and-pencil accuracy.
여덟 가지 원소(Cu, Al, Ni, Au, α-Fe, W, Mg, Si) 중 하나를 누르면, 그 원소의 결정 구조가 자동으로 판정되고 hard sphere 모형이 화면에 그려집니다. 동시에 격자상수, 단위격자 당 원자수, 원자량, 셀 부피, 충전율 APF, 그리고 이론 밀도까지 한 줄 한 줄 계산되어 패널에 나타납니다. 공식이 어떻게 숫자로 변하는지 그 과정을 그대로 따라갈 수 있습니다.
Select one of the eight elements (Cu, Al, Ni, Au, α-Fe, W, Mg, Si) and the crystal structure is identified automatically, a hard-sphere model appears in 3D, and the full calculation — lattice constant, atoms per cell, atomic weight, cell volume, APF, and theoretical density — is displayed line by line in the panel. You can follow exactly how the formula turns into a number.
마지막 줄에서는 이렇게 계산한 값을 실제 측정값(CRC 핸드북)과 나란히 놓고 오차를 보여 줍니다. 대개 1% 안팎으로 들어맞는데, 그 작은 오차야말로 "원자가 정말로 그렇게 차곡차곡 쌓여 있다"는 사실의 가장 직접적인 증거입니다.
The final row places the calculated value next to the measured value from the CRC Handbook and shows the error. It is typically within 1%. That small agreement is the most direct experimental evidence that atoms genuinely are stacked there, exactly as the model assumes.
왜 그 밀도인가
Why that density?
눈에 보이지 않는 원자의 배열이 저울 위 숫자를 결정한다는 게 정말 가능할까요?
철 조각을 손에 올려 보면 묵직한 느낌이 납니다. 그런데 그 무게는 원자들이 공간에 얼마나 빽빽하게 자리를 잡고 있느냐에서 비롯됩니다. 같은 원소라도 결정 구조가 달라지면, 단위격자 안에 들어가는 원자 수 $n$ 과 격자상수 $a$ 가 바뀌고, 그 결과로 밀도도 달라집니다. 이론 밀도 공식 $\rho = nM / (V_c \cdot N_A)$ 는 결정학적 정보, 원자량, 아보가드로 수 이 세 가지만 있으면 실제로 저울에 올리지 않고도 물질의 밀도를 계산할 수 있게 해 줍니다.
그 계산값이 CRC 핸드북에 실린 실측값과 1% 안팎으로 일치한다는 사실이야말로, 결정학이 단순한 모형이 아니라 실재하는 구조를 정확히 기술하고 있다는 가장 직접적인 증거입니다. 아래 네 원리에서 충전율 APF 의 정의에서 출발해 이론 밀도 공식을 유도하고, 어떤 원소에서 오차가 커지는지, 그리고 그 이유는 무엇인지까지 한 단계씩 따라가 봅니다.
Can an invisible atomic arrangement really determine the number on a scale?
Hold a piece of iron in your hand and you feel its weight. That heaviness arises directly from how tightly atoms are packed in space. Even for the same element, changing the crystal structure changes both the number of atoms $n$ per unit cell and the lattice constant $a$, and consequently changes the density. The theoretical density formula $\rho = nM / (V_c \cdot N_A)$ requires only three inputs — crystallographic information, atomic weight, and Avogadro's number — to compute the density without ever placing the material on a scale.
The fact that this computed value matches the measured value in the CRC Handbook to within roughly 1% is the most direct evidence that crystallography is not merely a model, but an accurate description of a real structure. The four principles below trace the argument from the APF definition through the density formula, and explain which elements show larger deviations and why.
APF — Atomic Packing Factor
APF는 단위격자 안에 들어 있는 원자들의 부피 합을 단위격자 전체 부피로 나눈, 단위가 없는 비율입니다. 이때 원자는 반지름 R 의 단단한 공(hard sphere)이라고 가정합니다. 즉 상자 안에 같은 크기의 구슬을 채웠을 때 구슬이 차지하는 비율이 얼마인가를 묻는 것입니다.
APF is the dimensionless ratio of the total volume of atoms inside the unit cell to the total volume of the cell itself. Each atom is modeled as a hard sphere of radius R. The question is simply: when you pack identical marbles into a box, what fraction of the box is marble?
FCC와 HCP는 똑같이 가장 빽빽한 충전 효율인 0.7405에 도달합니다. BCC는 그보다 조금 덜 빽빽해 0.6802이고, 다이아몬드 구조는 공유결합이 특정 네 방향으로만 뻗는 탓에 0.3401에 그칩니다. 같은 크기의 상자에 원자를 절반밖에 넣지 못하는 셈인데, 이것이 실리콘이나 다이아몬드가 여느 금속보다 가벼운 본질적인 이유입니다.
FCC and HCP both achieve the maximum close-packing efficiency of 0.7405. BCC is slightly less efficient at 0.6802. The diamond structure reaches only 0.3401 because its covalent bonds constrain atoms to exactly four tetrahedral directions, leaving substantial empty space. With only half as many atoms fitting into the same-sized box, this is the fundamental reason silicon and diamond are lighter than typical metals.
Four structures, four APFs
| 구조Structure | n (원자/셀)n (atoms/cell) | CN | R / a | APF |
|---|---|---|---|---|
| BCC | 2 | 8 | √3 / 4 | 0.6802 |
| FCC | 4 | 12 | √2 / 4 | 0.7405 |
| HCP (ideal c/a) | 6 | 12 | a / 2 | 0.7405 |
| Diamond (Si) | 8 | 4 | √3 / 8 | 0.3401 |
BCC, FCC, HCP는 모두 금속이 도달할 수 있는 조밀 충전의 한계 안쪽에서 움직입니다. 반면 다이아몬드 구조의 0.34는 "원자가 이웃과 정확히 네 방향으로만 공유결합한다"는 규칙 때문에 셀 안에 빈 공간이 자연스럽게 생긴 결과입니다. 같은 원소라도 이렇게 결합 방식이 달라지면 충전율이 절반 가까이 떨어지고, 그래서 실리콘과 다이아몬드는 금속보다 가벼워집니다.
BCC, FCC, and HCP all operate within the close-packing limits achievable by metallic bonding. The diamond APF of 0.34 is a direct consequence of the rule that each atom forms covalent bonds with exactly four neighbors in tetrahedral directions, inevitably leaving substantial empty space in the cell. Changing the bonding type alone can cut the packing factor nearly in half — which is why silicon and diamond are lighter than metals.
Theoretical density formula
공식에서 $n$ 은 단위격자 당 원자수, $M$ 은 원자량 (g/mol), $V_\text{cell}$ 은 셀 부피 (cm³), $N_A$ 는 아보가드로 수 6.022 × 10²³ /mol입니다. FCC와 BCC는 $V_\text{cell} = a^3$ 으로 간단하고, HCP는 $V_\text{cell} = a^2 c \sin 60°$ 입니다. 단위를 맞출 때 주의할 점은, 격자상수 $a$ 가 Å 단위이므로 cm 로 변환해야 한다는 것입니다. 1 Å = 10⁻⁸ cm 를 대입하면 셀 부피가 cm³ 로 나오고, 그대로 g/cm³ 밀도를 얻을 수 있습니다.
In the formula, $n$ is the number of atoms per unit cell, $M$ is the atomic weight (g/mol), $V_\text{cell}$ is the cell volume (cm³), and $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ /mol is Avogadro's number. For FCC and BCC, $V_\text{cell} = a^3$; for HCP, $V_\text{cell} = a^2 c \sin 60°$. The key unit conversion: $a$ is typically given in Å, so convert using 1 Å = 10⁻⁸ cm before computing the volume. The result is the density in g/cm³.
이렇게 계산한 이론 밀도가 실측값과 1~3% 이내로 들어맞는다는 점은 결정학의 중요한 성취입니다. 둘 사이의 미세한 차이는 주로 격자결함, 상온 열팽창, 그리고 HCP의 경우 실제 c/a 비율이 이상값 1.633 에서 벗어나는 데서 비롯됩니다.
That the calculated theoretical density agrees with the measured value to within 1–3% is a significant achievement of crystallography. The small discrepancy arises mainly from lattice defects, room-temperature thermal expansion, and — for HCP metals — the actual c/a ratio deviating from the ideal value of 1.633.
Why the error is small (and where it grows)
Cu, Al, Ni, Au, W 처럼 조밀 충전에 가까운 금속들은 오차가 대체로 0.5% 미만으로, 공식이 거의 완벽하게 들어맞습니다. Si와 다이아몬드 구조는 격자상수 측정 자체가 매우 정밀하게 이루어지기 때문에 오차가 0.3% 아래로 내려가기도 합니다. Mg 는 실제 c/a 비율이 1.624 로 이상값 1.633 에서 조금 벗어나 있어서, 이상값을 사용한 공식을 그대로 적용하면 계산값이 실측보다 약간 높게 나옵니다. α-Fe 는 BCC 이면서 자성을 띠기 때문에 자성과 격자결함의 영향이 상대적으로 크게 나타납니다.
Close-packed metals such as Cu, Al, Ni, Au, and W generally show errors below 0.5% — the formula fits almost perfectly. Si and the diamond structure benefit from extremely precise lattice-constant measurements, so errors can fall below 0.3%. Mg has an actual c/a ratio of 1.624 rather than the ideal 1.633; using the ideal value in the formula yields a slightly elevated calculated density. α-Fe is a BCC metal with magnetic ordering, making it more sensitive to magnetic and defect-related deviations.
오차가 생기는 근본적인 이유는 우리 모형이 "결함 없음, 열팽창 없음, 절대영도, 완전한 hard sphere" 를 가정하는 반면, 실측값은 상온 조건에서 소량의 공공(vacancy)과 자성 변형이 이미 반영된 수치이기 때문입니다. 그럼에도 1% 이내로 일치한다는 사실은 "원자가 실제로 그렇게 차곡차곡 쌓여 있다"는 것을 실험이 뒷받침해 주는 가장 직접적인 증거로 볼 수 있습니다.
The fundamental reason for any error is that our model assumes no defects, no thermal expansion, absolute zero temperature, and perfect hard spheres, while the measured values reflect room-temperature conditions with small concentrations of vacancies and magnetic distortions already embedded. The fact that agreement to within 1% is nevertheless achievable is the most direct experimental confirmation that atoms truly sit where the model says they do.
결정은 같은 모양의 상자(단위격자)가 반복되는 구조입니다. 그 상자 안에 원자가 얼마나 빽빽하게 들어차 있는지를 나타내는 것이 충전율 APF 이고, 상자 크기와 안에 든 원자의 무게를 알면 "상자 하나의 밀도"를 바로 구할 수 있습니다. 이 숫자가 실제 저울로 잰 밀도와 1% 안팎으로 맞아떨어진다는 것은, 우리 눈에는 보이지 않지만 원자가 정말로 그 자리에 그렇게 앉아 있다는 뜻입니다.
A crystal is a structure in which identical boxes (unit cells) repeat. APF is simply the fraction of each box that is occupied by atoms. Once you know the box size and the weight of the atoms inside, you can calculate the density of one box — which equals the density of the entire material. When that number matches what a scale actually measures to within 1%, it is proof that atoms genuinely sit where the model says, even though we cannot see them.
CHECK 스스로 확인하기Self-check
1. FCC 구리(Cu)의 이론 밀도를 구할 때 필요한 네 가지 입력값은 무엇일까요?
→ 셀당 원자수 $n = 4$, 원자량 $M = 63.55$ g/mol, 격자상수 $a = 3.615$ Å, 그리고 아보가드로 수 $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ /mol 입니다. 셀 부피 $V_c = a^3$ 은 여기서 계산됩니다.What are the four inputs needed to calculate the theoretical density of FCC copper (Cu)?
→ Atoms per cell $n = 4$, atomic weight $M = 63.55$ g/mol, lattice constant $a = 3.615$ Å, and Avogadro's number $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ /mol. The cell volume $V_c = a^3$ is derived from these.
2. 다이아몬드 구조(Si)의 APF 가 FCC 금속보다 훨씬 낮은(0.34 대 0.74) 이유는 무엇일까요?
→ Si 는 sp³ 공유결합으로 정사면체 네 방향으로만 결합하기 때문입니다. 이 방향성 결합 규칙 때문에 단위격자 안에 빈 공간이 자연스럽게 생기고, 결과적으로 충전율이 금속에 비해 절반 아래로 내려갑니다.Why is the APF of the diamond structure (Si) so much lower than that of FCC metals (0.34 vs. 0.74)?
→ Silicon forms sp³ covalent bonds in exactly four tetrahedral directions. This directional bonding constraint leaves substantial empty space in the unit cell, pushing the packing fraction to roughly half that of close-packed metals.
3. 이론 밀도와 실측 밀도 사이에 오차가 생기는 주된 원인 두 가지는 무엇일까요?
→ 이론 모형은 결함과 열팽창이 없는 절대영도 상태를 가정하지만, 실측은 상온에서 공공(vacancy) 같은 격자결함과 열팽창이 반영된 값이기 때문입니다.What are the two main sources of error between theoretical and measured density?
→ The model assumes zero defects and zero thermal expansion (absolute zero), while measured values reflect room-temperature conditions that include small concentrations of vacancies and thermal lattice expansion.