CH03_CRYSTAL
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LESSON04 / 07
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LANGKO+EN
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VERIFIED2026.05.27

Cutting the cube.

Miller 지수, 결정 안의 평면 (hkl) 과 방향 [uvw] 표기법

Miller indices — naming every plane (hkl) and direction [uvw] inside a crystal

하나의 결정 안에는 원자들이 이루는 평면과 방향이 셀 수 없이 많습니다. 그런데 "저 평면" "이 방향"이라고만 해서는 누구도 같은 면을 떠올릴 수 없겠지요. 그렇다면 결정 안의 특정한 평면과 방향을 어떻게 하면 누구에게나 정확히 전달할 수 있을까요. 1839년, 영국의 광물학자 윌리엄 밀러(William H. Miller)가 그 답을 내놓았습니다.

A single crystal contains countless atomic planes and directions. Saying "that plane" or "this direction" communicates nothing precisely. How, then, can a specific plane or direction inside a crystal be conveyed unambiguously to anyone in the world? In 1839, British mineralogist William H. Miller provided the answer.

그가 고안한 방법은 단 세 개의 정수로 평면과 방향을 적는 것이었습니다. 평면은 (hkl)로 적는데, 그 평면이 세 격자 축을 자르는 위치의 역수를 취해 정수로 만든 값입니다. 방향은 [uvw]로 적으며, 이쪽은 역수 없이 단위격자 좌표를 그대로 정수로 쓰면 됩니다. 표기 괄호의 모양(둥근 괄호와 대괄호)만으로 평면인지 방향인지 한눈에 구분되도록 약속해 둔 것이지요.

His method uses just three integers. A plane is written (hkl) — the values are the reciprocals of the intercepts that plane makes on the three lattice axes, reduced to smallest integers. A direction is written [uvw] — no reciprocals, just the integer lattice coordinates of the point the direction vector points toward. The bracket shape alone (round parentheses vs. square brackets) tells you instantly whether you are looking at a plane or a direction.

이 세 숫자짜리 언어 하나로 X선 회절 분석, 전위가 미끄러지는 슬립계, 반도체 웨이퍼의 결정 방향(Si (100)과 (111)은 성질이 다릅니다), 금속의 압연 방향까지 전 세계 어디서나 오해 없이 소통할 수 있게 되었습니다. 아래 sandbox에서 h, k, l 값을 직접 바꿔 평면을 돌려 보고, (100), (110), (111) 같은 대표적인 평면을 눌러 그 의미를 확인해 보세요.

This three-number language now serves as the universal notation for X-ray diffraction analysis, slip systems in plastic deformation, semiconductor wafer orientation (Si (100) and (111) wafers have different electrical properties), and metal rolling directions. In the sandbox below, adjust h, k, l with the steppers and click the preset buttons for (100), (110), and (111) to see what each plane looks like and why it matters.

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평면 모드 · (1 0 0) · d = aPlane mode · (1 0 0) · d = a DRAG · SCROLL TO ZOOM
SCROLL / PINCH TO ZOOM
h 1 k 0 l 0
Principles · 4개 · 4

평면과 방향에 이름 붙이기

Naming planes and directions

William Miller's three numbers that unify all of crystallography

결정 안의 수많은 평면 중에서 지금 이 면은 어떻게 부르면 될까요?

구리 한 덩어리를 잘라 보면, 방향에 따라 표면의 원자 밀도가 달라지고 갈라지는 성질도 달라집니다. 같은 철이라도 어떤 면이 미끄러지느냐에 따라 변형 방식이 바뀌고, X선이 회절해 나오는 각도 역시 어느 평면에서 반사됐는지에 따라 정확히 계산됩니다. 이 모든 논의가 성립하려면 먼저 평면과 방향에 이름을 붙이는 약속이 필요합니다. 1839년 윌리엄 밀러가 만든 답이 바로 (hkl) 표기법입니다. 핵심 규칙은 간단합니다. 평면이 세 격자 축을 자르는 위치의 역수를 구한 뒤, 분수를 없애 가장 작은 정수 세 개로 만들면 됩니다. 축과 나란해서 아예 만나지 않는다면 역수는 0이 됩니다.

방향 표기 [uvw]는 훨씬 직관적입니다. 원점에서 특정 격자점 (u, v, w)으로 향하는 화살표라고 생각하면 됩니다. 이렇게 정한 두 가지 표기법이 오늘날 전 세계 결정학, 재료공학, 반도체 공정의 공용어가 되었습니다. (100) 웨이퍼와 (111) 웨이퍼는 전기적 성질이 서로 다르며, {111}⟨110⟩ 슬립계는 FCC 금속이 변형될 때 원자들이 미끄러지는 경로를 지목하고, Bragg 식의 d 값도 (hkl)이 결정합니다. 아래 네 가지 원리에서 이 기호들의 정의와 계산, 실제 응용을 차례로 따라가 보시기 바랍니다.

Among the countless planes inside a crystal, how do you name the one you are looking at?

Slice a piece of copper in different orientations and you will find that atomic density at the surface changes, and so does the tendency to cleave. In iron, the planes along which atoms slip determine how the metal deforms. The angles at which X-rays diffract depend precisely on which plane is doing the reflecting. All of these discussions require an agreed-upon naming system for planes and directions. The answer William Miller provided in 1839 — the (hkl) notation — follows a simple rule: find where the plane intercepts each of the three lattice axes, take the reciprocal of each intercept, and reduce to the smallest set of integers. An axis the plane never crosses has intercept ∞, whose reciprocal is 0.

Direction notation [uvw] is even more intuitive: it is simply the integer lattice coordinates of the point the direction vector points toward from the origin. Together these two notations have become the universal language of crystallography, materials engineering, and semiconductor processing worldwide. (100) and (111) silicon wafers have different electrical properties; the {111}⟨110⟩ slip system names exactly which planes and directions FCC atoms slide along during deformation; and the d-spacing in Bragg's equation is determined by (hkl). The four principles below trace the definitions, calculations, and real-world applications of these symbols.

평면 (hkl)Planes (hkl) Miller indices for planes

격자 축 절편의 역수를 취하고, 분수를 없애 가장 작은 정수 세 개로 만든 것이 (hkl)입니다.

Take the reciprocals of the axis intercepts, clear fractions to smallest integers, and enclose in round parentheses — that is (hkl).

Intuition · 직관

어떤 평면이 a 축을 1/h 지점에서, b 축을 1/k 지점에서, c 축을 1/l 지점에서 자른다고 해 봅시다. 그러면 그 평면의 이름이 바로 (hkl)이 됩니다. 지수가 클수록 절편이 작다는 뜻이라 평면이 그 축에 가까이 붙어 있고, 지수가 0이면 그 축을 아예 자르지 않고 나란히 평행하다는 뜻입니다.

If a plane intercepts the a-axis at 1/h, the b-axis at 1/k, and the c-axis at 1/l, then its Miller index is (hkl). A larger index means a smaller intercept — the plane is tilted closer to that axis. An index of 0 means the plane never crosses that axis; it runs parallel to it.

Principle · 구하는 4 단계4-step procedure
  1. 먼저 평면이 각 격자 축을 단위격자 변 (a, b, c) 기준으로 몇 배 지점에서 자르는지 측정합니다. 예: (2, 3, ∞)
  2. 각 절편의 역수를 구합니다: (1/2, 1/3, 0)
  3. 분수를 없애기 위해 최소공배수 6을 곱합니다: (3, 2, 0)
  4. 둥근 괄호로 묶어 표기합니다: (3 2 0)
  1. Find where the plane intersects each lattice axis in units of a, b, c. Example: (2, 3, ∞)
  2. Take the reciprocal of each intercept: (1/2, 1/3, 0)
  3. Multiply by the LCM (6) to clear fractions: (3, 2, 0)
  4. Enclose in round parentheses: (3 2 0)

음수 지수는 숫자 위에 막대(bar)로 나타냅니다. 예: $(\bar{1} 0 0)$ = (-1, 0, 0)Negative indices are written with a bar over the digit. Example: $(\bar{1} 0 0)$ = (-1, 0, 0)

Sources · 출처

PAPER W. H. Miller (1839) Treatise on Crystallography  TXT Hammond · The Basics of Crystallography and Diffraction 4e Ch.5  TXT Callister 10e Ch.3.10

방향 [uvw]Directions [uvw] Miller indices for directions

단위격자 좌표를 정수 세 개로 그대로 적습니다. 평면과 달리 역수를 취하지 않습니다.

Write the lattice-point coordinates as three integers directly — no reciprocals, unlike planes.

Intuition · 직관

평면은 (hkl), 방향은 [uvw]로 적어 괄호 모양으로 둘을 구분합니다. 방향 쪽이 오히려 더 직관적인데, 원점에서 (u, v, w) 점을 향하는 화살표라고 생각하면 됩니다. 그래서 [100]은 a 축 방향, [110]은 a-b 면대각선 방향, [111]은 정육면체의 공간 대각선 방향을 가리킵니다. 음의 성분은 숫자 위에 막대를 얹어 표시합니다.

Planes use (hkl) and directions use [uvw] — the bracket shape alone distinguishes them. Directions are the more intuitive of the two: simply imagine an arrow from the origin toward lattice point (u, v, w). So [100] points along the a-axis, [110] along the face diagonal, and [111] along the body diagonal of the cube. Negative components are written with a bar over the digit.

Principle · 구하기Procedure
  1. 원점에서 목표 격자점까지의 벡터 차이를 구합니다.
  2. 공통 인수로 나누어 가장 작은 정수 세 개로 환산합니다.
  3. 대괄호 []로 묶어 표기합니다.
  1. Find the vector from the origin to the target lattice point.
  2. Divide by the greatest common factor to obtain the smallest three integers.
  3. Enclose in square brackets [].

예: (0, 0, 0)에서 (1/2, 1, 1) 방향 → 2를 곱하면 (1, 2, 2) → [1 2 2]

Example: direction toward (1/2, 1, 1) from origin → multiply by 2 → (1, 2, 2) → [1 2 2]

Sources · 출처

TXT Callister 10e Ch.3.9  TXT Hammond 4e Ch.5  TXT De Graef & McHenry Ch.4

등가 (family) 표기Family notation {hkl} & ⟨uvw⟩

결정 대칭으로 인해 서로 동등한 평면과 방향을 한 묶음으로 표현할 때 중괄호 {hkl}와 꺾쇠 ⟨uvw⟩를 씁니다.

Curly braces {hkl} and angle brackets ⟨uvw⟩ denote the full family of symmetry-equivalent planes and directions.

Examples · Cubic system 의 등가 가족Equivalent families in the Cubic system
가족Family구성원Members개수Count특징Character
{100}(100)(010)(001)(-100)(0-10)(00-1)6cube의 6면6 cube faces
{110}(110)(101)(011)(-110)... 등 12개12face 대각 평면, BCC 슬립계face-diagonal planes, BCC slip
{111}(111)(11-1)(1-11)(-111) + 음수 = 88body 대각 평면, FCC 슬립계body-diagonal planes, FCC slip
⟨100⟩[100][010][001] + 음수 = 66정육면체 모서리cube-edge directions
⟨110⟩12 방향 (face diagonal)12FCC 슬립 방향FCC slip directions
⟨111⟩8 방향 (body diagonal)8BCC 슬립 방향BCC slip directions

FCC 슬립계는 {111}⟨110⟩, BCC는 {110}⟨111⟩ 입니다. 슬립계의 물리적 의미는 Lesson 06에서 자세히 다룹니다.

The FCC slip system is {111}⟨110⟩; the BCC slip system is {110}⟨111⟩. The physical meaning of slip systems is covered in detail in Lesson 06.

Sources · 출처

TXT Hull & Bacon · Introduction to Dislocations 5e Ch.1  TXT Dieter · Mech Metallurgy 3e Ch.4

d-spacing & Bragg d_hkl in cubic

$d_{hkl} = a / \sqrt{h^2+k^2+l^2}$, X선 회절에서 피크 위치를 예측하는 핵심 식입니다.

$d_{hkl} = a / \sqrt{h^2+k^2+l^2}$ — the key formula that predicts X-ray diffraction peak positions.

Principle · Cubic d-spacing

d_hkl = a / √(h² + k² + l²)

정육면체 결정에서 (hkl) 평면과 이웃 평면 사이의 간격 d는 위 식으로 계산됩니다. 지수가 클수록 평면이 촘촘하게 배열되어 d가 줄어듭니다. 구리(Cu, a = 3.615 Å)를 예로 들면 다음과 같습니다.

In a cubic crystal, the spacing d between adjacent (hkl) planes is given by the formula above. Higher indices mean more closely spaced planes and smaller d. For copper (Cu, a = 3.615 Å):

  • (100): d = 3.615 Å (가장 큼)(largest)
  • (110): d = 3.615/√2 ≈ 2.556 Å
  • (111): d = 3.615/√3 ≈ 2.088 Å
  • (200): d = 3.615/2 ≈ 1.808 Å

Bragg 조건 $n\lambda = 2 d_{hkl} \sin\theta$ 에 이 d 값을 넣으면, X선이 강하게 회절하는 각도를 정확히 예측할 수 있습니다.

Inserting this d into Bragg's condition $n\lambda = 2 d_{hkl} \sin\theta$ gives the exact angles at which X-rays diffract strongly from the crystal.

Examples · 결정 방향이 쓰이는 곳Where crystal directions matter
응용Application평면·방향Plane/direction이유Reason
Si wafer (CMOS 일반)Si wafer (general CMOS)(100)표면이 매끄럽고 전자 이동도가 균일합니다.Smooth surface, uniform electron mobility.
Si wafer (전력 MOSFET 예시)Si wafer (power MOSFET example)(111)전자 이동도가 높습니다.High electron mobility.
Si wafer (FD-SOI 예시)Si wafer (FD-SOI example)(110)정공 이동도가 높습니다.High hole mobility.
강철 압연 가공Steel rolling[110] · {100}변형 가공 시 슬립이 일어나는 방향입니다.Slip direction during forming.
Cu 전선 전도 방향Cu wire draw direction[100]전기 저항이 낮습니다. (전선 산업의 일반적 경향)Lower electrical resistance (general industry trend).
Sources · 출처

PAPER W.L. Bragg (1913) Proc. Cambridge Phil. Soc.  TXT Cullity & Stock · Elements of X-Ray Diffraction 3e Ch.2  TXT Hammond 4e Ch.6

쉽게 말하면In plain terms

결정 안의 평면에 이름을 붙이는 방법은 이렇게 생각하면 됩니다. 그 평면이 x, y, z 세 축을 각각 몇 번째 자리에서 자르는지 잰 다음, 그 숫자를 뒤집어서(역수를 취해서) 분수를 없애면 됩니다. 축과 나란해서 만나지 않는 축은 뒤집으면 0이 됩니다. 방향 표기는 더 간단한데, 원점에서 그 격자점까지 몇 칸 가는지를 x, y, z 순서로 적으면 끝입니다. 이 두 표기 덕분에 (100) 웨이퍼와 (111) 웨이퍼가 어떻게 다른지, X선 회절이 어느 각도에서 나타나는지를 세계 어디서나 오해 없이 이야기할 수 있습니다.

To name a plane in a crystal: measure where it crosses the x, y, z axes; flip each number (take the reciprocal); clear any fractions. An axis the plane never crosses flips to 0. Naming a direction is even simpler: just write how many unit steps you take along x, y, z to reach the lattice point the direction aims at. These two notations let us say unambiguously why a (100) wafer and a (111) wafer behave differently electrically, or at which angles X-rays diffract from a given crystal — anywhere in the world, without misunderstanding.

CHECK 스스로 확인하기Self-check

1. 어떤 평면이 a 축을 2 지점, b 축을 1 지점, c 축을 ∞(나란함)에서 만난다면 Miller 지수는 무엇일까요?
→ 역수를 취하면 (1/2, 1/1, 0). 분수를 없애기 위해 2를 곱하면 (1, 2, 0). 따라서 Miller 지수는 (1 2 0)입니다.A plane intercepts the a-axis at 2, the b-axis at 1, and runs parallel to the c-axis. What are the Miller indices?
→ Reciprocals: (1/2, 1/1, 0). Multiply by 2 to clear fractions: (1, 2, 0). The Miller indices are (1 2 0).

2. (111) 평면과 (200) 평면 중 d-spacing이 더 큰 쪽은 어느 쪽이고, XRD 피크는 더 작은 각도에 나타날까요?
→ (111)의 $h^2+k^2+l^2 = 3$, (200)은 4이므로 (111)의 d 값이 더 큽니다. Bragg 식에서 d가 클수록 $\sin\theta$ 가 작으므로 각도 $\theta$도 작아집니다. 따라서 (111) 피크가 더 작은 각도에 나타납니다.Which has the larger d-spacing, (111) or (200), and which XRD peak appears at the smaller angle?
→ For (111), $h^2+k^2+l^2 = 3$; for (200), it is 4. So (111) has the larger d. In Bragg's law, larger d gives smaller $\sin\theta$ and therefore a smaller angle $\theta$. The (111) peak appears at the lower angle.

3. [110] 방향은 단위격자 안에서 어느 방향을 가리키며, FCC 금속과 어떤 관련이 있을까요?
→ [110]은 x축과 y축을 각각 1씩, z축을 0으로 해서 면 대각선 방향을 가리킵니다. FCC 슬립계 {111}⟨110⟩에서 원자들이 미끄러지는 방향이 바로 ⟨110⟩이므로, FCC 금속의 소성 변형을 이해하는 핵심 방향입니다.What direction does [110] point within the unit cell, and what is its connection to FCC metals?
→ [110] runs along the face diagonal — one unit step along x, one along y, none along z. In the FCC slip system {111}⟨110⟩ the ⟨110⟩ family is exactly the direction in which atoms slide, making it the key direction for understanding plastic deformation in FCC metals.

"Three numbers — and you can tell anyone which plane, which direction."
Miller 지수 (h k l) 와 [u v w], 단 세 숫자가 1839년부터 전 세계 결정학자, 재료공학자, 반도체 엔지니어의 공용어입니다. 반도체 웨이퍼 사양서의 첫 줄에는 "Si (100) p-type" 과 같이 반드시 평면 표기가 적힙니다. 이 표기 없이는 공정이 시작될 수 없습니다.
Miller indices (hkl) and [uvw] — just three numbers — have been the common language of crystallographers, materials engineers, and semiconductor engineers worldwide since 1839. Every semiconductor wafer specification sheet begins with a line such as "Si (100) p-type." Without that notation, the process cannot start.
PAPER W.H. Miller (1839) · PAPER W.L. Bragg (1913) · TXT Hammond 4e · TXT Callister 10e Ch.3
이어서 볼 개념Related concepts
CH.03 · L03Bravais 격자Bravais lattices CH.03 · L05APF·이론밀도Packing factor CH.04 · L01점결함Point defects
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