Newton's laws, but rotating.
회전 운동, τ = Iα, KE = ½Iω², L = Iω
Rotational motion — τ = Iα, KE = ½Iω², L = Iω
뉴턴의 운동 법칙을 직선 운동에서 처음 배우셨겠지요. 그런데 자전거 바퀴, 행성, 피겨 스케이터, 자이로스코프처럼 도는 모든 것에는 회전을 위한 별도의 언어가 필요합니다. 다행히도 회전 운동의 법칙은 직선 운동과 정확히 평행 구조를 가지고 있어요. 직선의 모든 양에 회전판 대응이 하나씩 있습니다.
You first met Newton's laws in the context of straight-line motion. But everything that spins — bicycle wheels, planets, figure skaters, gyroscopes — needs its own language. Fortunately, the laws of rotational motion are exactly parallel to those of linear motion: every linear quantity has a rotational counterpart, one-to-one.
대응 관계는 이렇습니다. 힘 F 가 토크 τ 로, 질량 m 이 관성 모멘트 I 로, 속도 v 가 각속도 ω 로, 운동량 p 가 각운동량 L 로 바뀝니다. 뉴턴의 제2법칙 F = ma 가 회전에서는 τ = Iα 로 그대로 살아남지요. 운동에너지도 ½mv² 에서 ½Iω² 로 형태만 달라집니다.
The dictionary is: force F becomes torque τ; mass m becomes moment of inertia I; velocity v becomes angular velocity ω; momentum p becomes angular momentum L. Newton's Second Law F = ma survives as τ = Iα. Kinetic energy ½mv² transforms into ½Iω².
한 가지 주의할 점이 있어요. 직선 운동에서 m 은 단순히 무게이지만, 회전에서 I 는 질량 분포 에 의존합니다. 같은 무게라도 외곽에 질량이 몰려 있으면 I 가 커서 회전시키기 어렵습니다. 자전거 바퀴는 테두리에 무거운 타이어와 림이 있어 I 가 크고, 같은 무게의 디스크는 I 가 작아 더 잘 돌지요. 피겨 스케이터가 회전 중에 팔을 가슴으로 모으면 I 가 작아져 각운동량 보존 (L = Iω 일정) 에 의해 ω 가 폭발적으로 커지는 것을 보신 적이 있을 거예요.
One key difference: in linear motion m is simply mass, but in rotation I depends on how that mass is distributed. The same weight is harder to spin when its mass sits far from the axis. A bicycle wheel with a heavy tyre and rim at the edge has a large I; a solid disc of equal weight has a smaller I and is easier to accelerate. When a figure skater pulls their arms in mid-spin, I decreases and by angular momentum conservation (L = Iω = constant) the angular speed ω explodes upward.
회전의 F=ma.
The F=ma of rotation.
문을 열 때 왜 손잡이는 경첩에서 가장 먼 쪽에 달려 있을까요?
회전 운동을 이해하는 첫걸음은 직선 운동과의 아름다운 평행 관계를 보는 것입니다. 직선 세계의 모든 양은 회전 세계에 짝꿍을 하나씩 가지고 있어요. 위치는 각도($\theta$)로, 속도는 각속도($\omega$)로, 힘은 토크($\tau$)로, 질량은 관성 모멘트($I$)로, 운동량은 각운동량($L$)으로 바뀝니다. 그래서 직선의 $F = ma$ 는 회전에서 $\tau = I\alpha$ 가 되고, 운동 에너지 $\tfrac{1}{2}mv^2$ 은 $\tfrac{1}{2}I\omega^2$ 이 되지요. 한 세계를 이해하면 다른 세계가 거의 공짜로 따라옵니다.
문손잡이 이야기로 돌아가 볼까요. 회전을 일으키는 것은 힘만이 아니라 힘과 회전축까지의 거리의 곱, 즉 토크($\tau = rF$)입니다. 손잡이가 경첩에서 멀수록 거리 $r$ 이 커져, 같은 힘으로도 더 큰 토크를 만들 수 있어요. 경첩 바로 옆을 밀면 아무리 세게 밀어도 문이 잘 안 열리는 이유가 여기에 있습니다. 한편 회전의 또 다른 주인공인 관성 모멘트 $I$ 는 단순한 질량이 아니라 질량이 축에서 얼마나 멀리 퍼져 있는가에 달려 있습니다. 같은 무게라도 바깥쪽에 몰려 있으면 돌리기가 훨씬 어렵지요.
Why is a door handle placed as far as possible from the hinge?
The first step toward understanding rotational motion is seeing its beautiful parallel with linear motion. Every quantity in the linear world has a counterpart in the rotational world: position becomes angle ($\theta$), velocity becomes angular velocity ($\omega$), force becomes torque ($\tau$), mass becomes moment of inertia ($I$), and momentum becomes angular momentum ($L$). Linear $F = ma$ becomes rotational $\tau = I\alpha$; kinetic energy $\tfrac{1}{2}mv^2$ becomes $\tfrac{1}{2}I\omega^2$. Once you understand one world, the other comes almost for free.
Back to the door handle. What causes rotation is not force alone but the product of force and the distance to the rotation axis — torque ($\tau = rF$). The farther the handle is from the hinge, the larger $r$ and thus the larger the torque you can generate with the same force. Push right next to the hinge and the door barely moves, however hard you push. The other protagonist of rotation, moment of inertia $I$, is not simply mass — it depends on how far that mass is spread from the axis. Equal weight becomes harder to spin the farther out it sits.
Q1 같은 무게인데 왜 속이 빈 고리가 꽉 찬 원반보다 굴리기 힘들까요?
Q1 Same weight — why is a hollow ring harder to roll than a solid disc?
Q2 자전거는 가만히 서 있으면 넘어지는데, 달리면 왜 안 넘어질까요?
Q2 A bicycle falls over when stationary — so why doesn't it fall when moving?
회전의 "관성"은 $I = \sum m_i r_i^2$ 로, 각 질량 조각에 회전축까지 거리의 제곱을 곱해 더한 값입니다. 같은 질량이라도 축에서 멀리 퍼져 있을수록 $I$ 가 커지지요. 대표적인 값으로 꽉 찬 원반은 $\tfrac{1}{2}mr^2$, 속이 빈 고리는 $mr^2$, 꽉 찬 구는 $\tfrac{2}{5}mr^2$, 중심을 축으로 한 막대는 $\tfrac{1}{12}mL^2$ 입니다. 직선 운동의 m 에 해당하는, 회전을 거부하는 정도입니다.
토크 $\tau$ 는 회전을 일으키는 원인이고, 그 크기는 힘과 팔 길이의 곱 $\tau = rF\sin\theta$ 입니다. 회전 운동의 기본 방정식은 $\tau = I\alpha$ 로, 직선의 $F = ma$ 와 똑같은 모양이지요. 토크가 클수록, 관성 모멘트가 작을수록 각가속도 $\alpha$ 가 커집니다. 이 한 식이 회전하는 모든 물체의 운동을 결정합니다.
회전하는 물체는 $KE_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$ 만큼의 에너지를 품습니다. 언덕을 굴러 내려오는 공처럼 병진과 회전을 동시에 하면 총 운동 에너지는 $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$ 이 됩니다. 같은 높이에서 출발해도 관성 모멘트가 큰 물체는 더 많은 에너지를 회전에 나눠 써야 해서 병진 속도가 느려집니다. 굴림 경주에서 순위가 갈리는 이유입니다.
외부 토크가 없으면 각운동량 $L = I\omega$ 가 일정하게 유지됩니다. 그래서 $I$ 를 줄이면 $\omega$ 가 커지지요. 피겨 스케이터가 팔을 모으면 회전이 빨라지고, 수축하는 별은 자전이 빨라지며(중성자별의 빠른 회전), 행성은 태양에 가까워질 때 더 빨리 움직입니다(케플러 제2법칙). 회전 세계의 운동량 보존인 셈입니다.
Rotational "inertia" is $I = \sum m_i r_i^2$ — each mass element multiplied by the square of its distance from the rotation axis, then summed. The farther mass spreads from the axis, the larger $I$ becomes. Representative values: solid disc $\tfrac{1}{2}mr^2$, hollow ring $mr^2$, solid sphere $\tfrac{2}{5}mr^2$, rod about its centre $\tfrac{1}{12}mL^2$. This is the rotational analogue of mass — the degree to which rotation is resisted.
Torque $\tau$ is what causes rotation; its magnitude is the product of force and lever arm: $\tau = rF\sin\theta$. The fundamental equation of rotational motion is $\tau = I\alpha$, exactly mirroring the linear $F = ma$. Larger torque, or smaller moment of inertia, gives larger angular acceleration $\alpha$. This single equation governs the motion of every rotating object.
A rotating object stores energy $KE_{rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$. An object that rolls without slipping — like a ball down a hill — simultaneously translates and rotates, so its total kinetic energy is $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$. Starting from the same height, an object with a larger moment of inertia must put more energy into rotation, leaving less for translational speed — which is why shape alone determines the finishing order in a rolling race.
When no external torque acts, angular momentum $L = I\omega$ stays constant. Decreasing $I$ therefore increases $\omega$. A figure skater pulling in their arms spins faster; a collapsing star spins faster as it shrinks (millisecond pulsars are the extreme case); planets move faster near perihelion (Kepler's Second Law). This is momentum conservation in the rotational world.
회전은 직선 운동을 빙글 돌려 놓은 것뿐입니다. 미는 힘 대신 비트는 힘(토크), 무게 대신 무게가 퍼진 정도(관성 모멘트)를 쓰면 됩니다. 무게가 바깥쪽에 몰려 있을수록 돌리기 어렵고, 일단 빨리 돌면 방향을 고집스럽게 유지하지요. 그래서 팔을 모으면 빨리 돌고(피겨), 달리는 자전거는 잘 안 넘어집니다.
Rotation is just linear motion bent into a circle. Replace push (force) with twist (torque), and replace weight with how spread-out the weight is (moment of inertia). The more the weight sits at the outside, the harder it is to start spinning — but once spinning fast, it stubbornly keeps its direction. That is why pulling your arms in makes you spin faster (figure skating) and why a moving bicycle stays up.
연속체의 관성 모멘트는 $I = \int r^2\,dm$ 으로 정의됩니다. 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 $I_{cm}$ 을 알면, 그와 평행하고 거리 $d$ 만큼 떨어진 축에 대한 값은 평행축 정리 $I = I_{cm} + Md^2$ 로 구합니다. 막대 중심축 $\tfrac{1}{12}ML^2$ 에 이 정리를 적용하면 끝점축 $\tfrac{1}{3}ML^2$ 이 곧바로 나오지요.
미끄러지지 않고 구르는 물체는 $v = r\omega$ 라는 구속 조건을 만족합니다. 에너지 보존 $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$ 에 이를 대입하면, 경사면 아래에서의 속도 $v = \sqrt{\dfrac{2gh}{1 + I/(mr^2)}}$ 를 얻습니다. $I/(mr^2)$ 가 작을수록(꽉 찬 원반·구) 더 빠르고, 클수록(고리) 더 느립니다. 질량과 반지름은 식에서 사라져 오직 모양만이 순위를 가릅니다.
엄밀하게 토크는 $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ 이고 각운동량은 $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$ 인 벡터곱입니다. 회전판 제2법칙의 근본 형태는 $\vec{\tau} = d\vec{L}/dt$ 이지요. 자이로스코프의 세차 운동은 이 식으로 설명됩니다. 중력 토크가 각운동량 벡터에 수직으로 작용해 그 크기는 두지 않고 방향만 천천히 돌리기 때문에, 축이 원뿔을 그리며 도는 것입니다.
For a continuous body, $I = \int r^2\,dm$. If $I_{cm}$ is known for an axis through the centre of mass, the moment of inertia about any parallel axis a distance $d$ away is given by the parallel-axis theorem: $I = I_{cm} + Md^2$. Applying this to a rod whose centre-axis gives $\tfrac{1}{12}ML^2$ immediately yields the end-axis value $\tfrac{1}{3}ML^2$.
An object rolling without slipping satisfies the constraint $v = r\omega$. Substituting into energy conservation $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I\omega^2$ gives the speed at the bottom of a ramp: $v = \sqrt{\dfrac{2gh}{1 + I/(mr^2)}}$. Smaller $I/(mr^2)$ (solid disc or sphere) means faster; larger (hollow ring) means slower. Mass and radius cancel — shape alone determines the finishing order.
Formally, torque is the cross product $\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}$ and angular momentum is $\vec{L} = \vec{r}\times\vec{p}$. The rotational Second Law in its fundamental form is $\vec{\tau} = d\vec{L}/dt$. Gyroscopic precession follows from this equation: gravitational torque acts perpendicular to the angular momentum vector, so it rotates the direction of $\vec{L}$ without changing its magnitude — causing the axis to trace out a cone.
오늘 우리는 직선 운동의 모든 개념이 회전 세계에 짝꿍을 가진다는 것을 보았습니다. 힘은 토크로, 질량은 관성 모멘트로, 속도는 각속도로, 운동량은 각운동량으로 바뀌며, $F=ma$ 는 $\tau=I\alpha$ 로 그대로 살아남지요. 핵심은 관성 모멘트가 단순한 무게가 아니라 질량의 분포에 달려 있다는 점, 그리고 외부 토크가 없으면 각운동량이 보존된다는 점입니다. 다음 레슨에서는 이 운동들이 한자리에서 반복되는 진동과, 그 진동이 공간으로 퍼져 나가는 파동으로 이어지며 물리 챕터를 마무리합니다.
Today we saw that every concept in linear motion has a counterpart in the rotational world: force becomes torque, mass becomes moment of inertia, velocity becomes angular velocity, momentum becomes angular momentum, and $F = ma$ survives as $\tau = I\alpha$. The key points are that moment of inertia depends on distribution of mass rather than mass alone, and that angular momentum is conserved when no external torque acts. The next lesson takes these motions into oscillation — repetition at a fixed point — and then extends oscillation into waves propagating through space, closing out the physics chapter.
CHECK 스스로 확인하기
1. 질량 2 kg, 반지름 0.5 m 인 꽉 찬 원반의 관성 모멘트는?
→ $I = \tfrac{1}{2}mr^2 = \tfrac{1}{2}\times 2 \times 0.25 = 0.25$ kg·m² 입니다.
2. 경사면에서 같은 질량·반지름의 고리와 원반을 동시에 굴리면 누가 먼저 내려올까요?
→ 원반입니다. $I$ 가 작아($\tfrac{1}{2}mr^2 < mr^2$) 에너지를 회전에 덜 쓰고 더 빨리 가속하기 때문입니다.
3. 돌고 있는 사람이 팔을 펴면 회전 속도와 각운동량은 각각 어떻게 될까요?
→ 각운동량 $L$ 은 보존(일정)되고, $I$ 가 커지므로 각속도 $\omega$ 는 작아져 천천히 돕니다.
CHECK Self-check
1. What is the moment of inertia of a solid disc with mass 2 kg and radius 0.5 m?
→ $I = \tfrac{1}{2}mr^2 = \tfrac{1}{2}\times 2 \times 0.25 = 0.25$ kg·m².
2. A hollow ring and a solid disc of equal mass and radius are released simultaneously on a ramp. Which reaches the bottom first?
→ The solid disc. Its smaller $I$ ($\tfrac{1}{2}mr^2 < mr^2$) means it puts less energy into rotation and more into translational speed.
3. A spinning person extends their arms. What happens to their angular speed and to their angular momentum?
→ Angular momentum $L$ is conserved (stays constant). $I$ increases so angular speed $\omega$ decreases — they spin more slowly.