Force equals mass times acceleration.
Newton 2법칙, F = ma
Newton's Second Law — F = ma
멈춰 있던 쇼핑카트를 밀면 움직이기 시작하고, 더 세게 밀수록 더 빨리 빨라집니다. 반대로 짐이 가득 찬 무거운 카트는 같은 힘으로 밀어도 좀처럼 속도가 붙지 않지요. 누구나 몸으로 아는 이 경험을, 뉴턴은 단 한 줄의 식으로 정리했습니다.
Push a stationary shopping cart and it starts to move. Push harder and it picks up speed faster. Load the cart with heavy bags and the same push barely budges it. Everyone knows this from experience — Newton captured it all in a single line of algebra.
물체에 외부에서 힘이 작용하면 물체는 가속합니다. 이때 가속도는 힘에 비례하고 질량에는 반비례하며, 방향은 알짜힘(합력)의 방향과 같습니다. 이것을 식으로 쓰면 $\vec{F} = m\vec{a}$ 가 됩니다. 짧지만 이 한 줄이 인공위성의 궤도부터 자동차의 제동 거리까지 모두 설명해 내는 고전역학의 심장입니다.
When an external force acts on an object, the object accelerates. That acceleration is proportional to the force and inversely proportional to the mass, and it points in the direction of the net force. Written as an equation: $\vec{F} = m\vec{a}$. Short as it is, this one line explains everything from satellite orbits to braking distances — it is the heart of classical mechanics.
흔히 따로 외우는 뉴턴 제1법칙(힘이 0이면 속도가 일정하게 유지된다)도 사실은 이 식의 특수한 경우일 뿐입니다. 힘이 없으면 가속도가 0이 되고, 가속도가 0이면 속도가 변하지 않으니까요. 아래에서 힘과 질량을 직접 바꿔 가며 가속도가 어떻게 달라지는지 확인해 보세요.
Even the First Law — "no force means constant velocity" — is just a special case of this equation. Set $\vec{F} = 0$ and you get $\vec{a} = 0$, meaning velocity does not change. Try adjusting force and mass in the simulator below and watch how acceleration responds.
힘은 가속의 원인.
Force is the cause of acceleration.
"힘을 준다"는 말은 물체에 정확히 무슨 일을 하는 걸까요?
제1법칙은 힘이 없으면 속도가 변하지 않는다고 알려 주었습니다. 그렇다면 자연스러운 다음 질문은 이것이지요. 힘이 있으면 속도는 얼마나 변할까. 뉴턴은 1687년 프린키피아에서 이 질문에 정확한 답을 내놓았습니다. 물체에 힘을 주면 속도가 변하고, 그 변화의 빠르기(가속도)는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 것입니다. 같은 힘으로 밀어도 가벼운 쇼핑카트는 쑥쑥 빨라지지만 짐을 가득 실은 카트는 좀처럼 속도가 붙지 않는, 우리가 몸으로 아는 경험이 바로 이 법칙입니다.
여기서 중요한 점은 힘이 속도가 아니라 속도의 변화율을 만든다는 사실입니다. 빙판 위에서 손가락으로 무거운 상자를 살짝 밀면, 상자는 곧장 빨라지지 않고 아주 천천히, 그러나 꾸준히 빨라집니다. 손을 떼는 순간 가속은 멈추지만 속도는 그대로 남지요(제1법칙). 그래서 $\vec{F}=m\vec{a}$ 의 진짜 메시지는 "힘은 운동을 만든다"가 아니라 "힘은 운동의 변화를 만든다"입니다. 이 미묘한 차이가 고전역학 전체를 떠받칩니다.
What exactly does "applying a force" do to an object?
The First Law told us that with no force, velocity does not change. The natural next question is: when a force is present, how much does velocity change? Newton answered it precisely in the Principia of 1687: applying a force changes velocity, and the rate of that change (acceleration) is proportional to the force and inversely proportional to the mass. The light shopping cart speeds up quickly under the same push that barely budges the fully loaded one — that everyday experience is exactly this law.
The crucial point is that force creates not velocity itself but the rate of change of velocity. If you gently push a heavy box on ice with one finger, it does not instantly shoot away; it gains speed gradually but steadily. The moment you let go, acceleration stops — but whatever speed the box has accumulated stays (First Law). The true message of $\vec{F} = m\vec{a}$ is not "force creates motion" but "force creates change in motion." That subtle distinction is what all of classical mechanics rests on.
Q1 무거운 물체와 가벼운 물체를 같이 떨어뜨리면 왜 동시에 떨어지나요?
Q1 Why do a heavy object and a light object fall at the same rate when dropped together?
Q2 떨어지는 달걀을 방석에 받으면 왜 안 깨질까요?
Q2 Why doesn't a falling egg break when caught with a soft pillow?
물체에 작용하는 알짜힘 $\vec{F}$ 와 가속도 $\vec{a}$ 의 관계는 $\vec{F} = m\vec{a}$ 입니다. 힘과 가속도가 모두 벡터라는 점이 중요해서, 가속도의 방향은 언제나 알짜힘의 방향과 같습니다. SI 단위로 1 N 은 1 kg 의 물체를 1 m/s² 로 가속하는 힘($1\,\text{N} = 1\,\text{kg·m/s}^2$)으로 정의되는데, 이 정의 자체가 제2법칙에서 곧장 나온 것입니다.
뉴턴이 실제로 적은 형태는 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ 이고, 여기서 $\vec{p} = m\vec{v}$ 는 운동량입니다. 질량이 일정하면 $\vec{F} = m\,d\vec{v}/dt = m\vec{a}$ 로 익숙한 형태가 되지요. 하지만 연료를 태워 질량이 줄어드는 로켓처럼 질량이 변하는 경우에는 운동량 형태가 더 정확합니다. 그래서 $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ 가 더 근본적인 표현입니다.
힘이 일정하면 가속도 $a = F/m$ 도 일정하므로, 속도와 위치를 시간의 함수로 적분할 수 있습니다. $v(t) = v_0 + at$ 이고 $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$ 입니다. 예를 들어 $a = 5\,\text{m/s}^2$ 로 정지에서 출발하면 5초 뒤 속도는 $5 \times 5 = 25$ m/s, 이동 거리는 $\tfrac{1}{2}\times 5 \times 5^2 = 62.5$ m 가 됩니다. 미래의 운동이 식 하나로 완전히 정해지는 셈입니다.
제2법칙을 시간으로 적분하면 $\int \vec{F}\,dt = \Delta \vec{p} = m\,\Delta\vec{v}$ 가 됩니다. 왼쪽의 "힘 × 시간"을 충격량이라 하며, 이것이 운동량 변화와 정확히 같다는 뜻입니다. 골프채가 공을 때리는 순간이나 자동차 충돌처럼 아주 짧은 시간에 큰 힘이 작용하는 현상을 분석하는 출발점입니다.
The relationship between net force $\vec{F}$ and acceleration $\vec{a}$ is $\vec{F} = m\vec{a}$. Both are vectors, so acceleration always points in the direction of the net force. By SI definition, 1 N is the force that accelerates 1 kg at 1 m/s² ($1\,\text{N} = 1\,\text{kg·m/s}^2$) — a definition that comes directly from this law.
What Newton actually wrote is $\vec{F} = d\vec{p}/dt$, where $\vec{p} = m\vec{v}$ is momentum. When mass is constant this reduces to the familiar $\vec{F} = m\,d\vec{v}/dt = m\vec{a}$. But for rockets that burn fuel and lose mass continuously, the momentum form is the correct one. $\vec{F} = d\vec{p}/dt$ is therefore the more fundamental statement.
When force is constant, acceleration $a = F/m$ is also constant, and velocity and position can be integrated as functions of time: $v(t) = v_0 + at$ and $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$. For instance, starting from rest with $a = 5\,\text{m/s}^2$, after 5 seconds the speed is $5 \times 5 = 25$ m/s and the distance covered is $\tfrac{1}{2} \times 5 \times 5^2 = 62.5$ m. The future motion is entirely determined by a single equation.
Integrating the Second Law over time gives $\int \vec{F}\,dt = \Delta \vec{p} = m\,\Delta\vec{v}$. The left side — "force times time" — is called impulse, and it equals the change in momentum exactly. This is the starting point for analysing events where a large force acts for a very short time, such as a golf club hitting a ball or a car collision.
힘은 물체를 "빨라지게 하는" 것이 아니라 "빨라지는 정도를 정하는" 것입니다. 세게 밀수록(힘이 클수록) 더 빠르게 빨라지고, 무거울수록(질량이 클수록) 더 천천히 빨라지지요. 그래서 같은 힘으로 빈 카트는 쑥, 짐 실은 카트는 느릿느릿 빨라집니다. 손을 떼는 순간 더는 빨라지지 않지만, 이미 얻은 속도는 그대로 남습니다.
Force does not decide how fast something moves; it decides how quickly the speed changes. Push harder and it speeds up faster. Push something heavier and it speeds up more slowly. So the same push makes an empty cart shoot away and a fully loaded cart creep. The moment you stop pushing, the speeding-up stops — but whatever speed has built up stays.
제2법칙은 본질적으로 2계 미분방정식 $m\,\ddot{\vec{r}} = \vec{F}(\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t)$ 입니다. 초기 위치 $\vec{r}(0)$ 와 초기 속도 $\dot{\vec{r}}(0)$ 가 주어지면 이후의 운동이 유일하게 결정됩니다. 이것이 고전역학의 결정론적 세계관의 수학적 뿌리이며, 천체의 궤도를 수백 년 앞까지 예측할 수 있게 해 주는 근거입니다.
제동 시 마찰 가속도는 $a = \mu g$ 이고, $v^2 = v_0^2 - 2ad$ 에서 정지($v=0$) 거리는 $d = v_0^2 / (2\mu g)$ 입니다. 속도가 2배가 되면 제동 거리는 4배가 되지요. $\mu \approx 0.8$ 인 마른 노면에서 시속 100 km(약 27.8 m/s)는 약 49 m, 시속 50 km는 약 12 m 를 미끄러집니다. 속도를 절반으로 줄이는 것만으로 제동 거리가 4분의 1로 준다는 사실이 안전거리 규정의 물리적 근거입니다.
반도체 안의 전자도 전기장 $E$ 가 만드는 힘 $F = qE$ 를 받아 가속합니다. 다만 격자의 주기적 퍼텐셜 때문에 진짜 질량 대신 유효질량 $m^*$ 를 써서 $a = qE/m^*$ 로 기술합니다. 유효질량이 작을수록 같은 전기장에서 더 크게 가속되어 전자 이동도가 커지므로, 이것이 소자의 동작 속도를 좌우합니다. 뉴턴의 제2법칙이 결정 속에서도 형태를 거의 그대로 유지하는 셈입니다.
The Second Law is essentially a second-order differential equation: $m\,\ddot{\vec{r}} = \vec{F}(\vec{r}, \dot{\vec{r}}, t)$. Given an initial position $\vec{r}(0)$ and initial velocity $\dot{\vec{r}}(0)$, the subsequent motion is uniquely determined. This is the mathematical foundation of classical mechanics' deterministic worldview — the reason we can predict planetary orbits centuries into the future.
Under braking, frictional deceleration is $a = \mu g$. Substituting $v = 0$ into $v^2 = v_0^2 - 2ad$ gives stopping distance $d = v_0^2 / (2\mu g)$. Double the speed and the braking distance quadruples. On a dry road ($\mu \approx 0.8$), 100 km/h (about 27.8 m/s) requires roughly 49 m to stop, while 50 km/h requires only about 12 m. Halving speed cuts stopping distance to one quarter — the physics behind minimum safe-following-distance regulations.
Electrons in a semiconductor also accelerate under the electric force $F = qE$. Because of the crystal's periodic potential, however, the electron responds as though it had a different mass — the effective mass $m^*$ — so the acceleration is $a = qE/m^*$. Smaller effective mass means larger acceleration under the same field, which means higher carrier mobility and faster device operation. Newton's Second Law survives inside a crystal with its form almost unchanged.
오늘 우리는 힘이 속도가 아니라 속도의 변화, 곧 가속도를 만든다는 것을 보았습니다. 그 관계가 $\vec{F}=m\vec{a}$ 이고, 더 근본적으로는 운동량의 변화율 $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ 이지요. 힘이 일정하면 미래의 속도와 위치를 식으로 완전히 예측할 수 있고, 짧고 큰 힘은 충격량-운동량 정리로 다룹니다. 제1법칙이 이 식의 $\vec{F}=0$ 특수해였다면, 다음 레슨의 제3법칙은 이 힘들이 항상 짝을 이루어 나타난다는 사실을 알려 줍니다.
Today we saw that force creates not velocity but its rate of change — acceleration. The relationship is $\vec{F} = m\vec{a}$, or more fundamentally $\vec{F} = d\vec{p}/dt$. When force is constant, future velocity and position can be predicted exactly from the kinematic equations. Brief, large forces are handled by the impulse-momentum theorem. The First Law was the special case $\vec{F} = 0$ of this equation; the Third Law, coming next, reveals that these forces always appear in pairs.
CHECK 스스로 확인하기
1. 같은 힘 12 N 으로 3 kg 과 6 kg 물체를 밀면 가속도는 각각 얼마일까요?
→ $a = F/m$ 이므로 각각 $12/3 = 4$ m/s², $12/6 = 2$ m/s² 입니다. 질량이 2배면 가속도는 절반.
2. 정지에서 $a = 2$ m/s² 로 4초간 가속하면 속도와 이동 거리는?
→ $v = at = 8$ m/s, $x = \tfrac{1}{2}at^2 = \tfrac{1}{2}\times 2 \times 16 = 16$ m 입니다.
3. 같은 속도로 날아오는 공을 손으로 받을 때, 손을 뒤로 빼면서 받으면 왜 덜 아플까요?
→ 멈추는 시간 $\Delta t$ 가 길어지면 같은 운동량 변화 $\Delta p$ 에 대해 힘 $F = \Delta p/\Delta t$ 가 작아지기 때문입니다.
CHECK Self-check
1. A force of 12 N is applied to a 3 kg object and a 6 kg object. What is the acceleration of each?
→ $a = F/m$, so 3 kg gives $12/3 = 4$ m/s² and 6 kg gives $12/6 = 2$ m/s². Double the mass, half the acceleration.
2. Starting from rest with $a = 2$ m/s², what are the speed and distance after 4 seconds?
→ $v = at = 8$ m/s, $x = \tfrac{1}{2}at^2 = \tfrac{1}{2}\times 2 \times 16 = 16$ m.
3. When catching a ball, why does pulling your hand back as you catch it hurt less?
→ Extending the stopping time $\Delta t$ reduces the force for the same momentum change: $F = \Delta p/\Delta t$.