Three things never disappear.
에너지·일·운동량 보존, 우주의 3 회계 법칙
Conservation of energy, momentum, and angular momentum — the universe's three accounting rules
물리학에는 절대 어기지 않는 세 가지 회계 법칙이 있습니다. 외부와 단절된 고립계 안에서 에너지·운동량·각운동량 은 절대 사라지지 않아요. 형태만 바뀔 뿐이지요. 떨어지는 사과의 위치 에너지 (mgh) 가 운동 에너지 (½mv²) 로 변환되고, 다시 지면과의 충돌에서 열과 소리로 흩어지지만 총합은 정확히 보존됩니다.
Physics has three accounting rules that are never broken. In an isolated system, energy, momentum, and angular momentum never vanish — they only change form. A falling apple's potential energy (mgh) converts into kinetic energy (½mv²), and upon hitting the ground that kinetic energy disperses as heat and sound, but the total is exactly preserved.
이 세 보존 법칙은 단순히 "관찰된 사실" 이 아니에요. 1918 년 독일의 수학자 Emmy Noether 가 증명한 정리에 따르면, 모든 보존 법칙은 자연의 어떤 대칭 으로부터 나옵니다. 시간이 흘러도 물리 법칙이 같다는 사실 (시간 대칭) 에서 에너지 보존이 나오고, 공간을 어디로 옮겨도 같다는 사실 (공간 대칭) 에서 운동량 보존이 나오며, 어느 방향이든 같다는 사실 (회전 대칭) 에서 각운동량 보존이 나옵니다.
These three laws are not merely observed facts. In 1918, German mathematician Emmy Noether proved that every conservation law springs from a symmetry of nature. The fact that physical laws are the same today as yesterday (time symmetry) gives energy conservation; the fact that experiment results are the same anywhere in space (spatial symmetry) gives momentum conservation; the fact that all directions are equivalent (rotational symmetry) gives angular momentum conservation.
이 한 마디로 우주의 깊은 구조가 드러납니다. 충돌, 발사, 행성 궤도, 양자 입자의 상호 작용까지 모든 것이 같은 세 회계 법칙을 따르지요. 아래 인터랙티브에서 두 입자의 충돌을 직접 만져 보면서 운동량과 에너지가 어떻게 보존되는지, 그리고 탄성 충돌과 비탄성 충돌의 차이가 어디서 오는지 확인해 보세요.
These ideas reveal the deep structure of the universe. Collisions, launches, planetary orbits, and quantum particle interactions all follow the same three accounting rules. In the simulator below, run collisions and watch how momentum and energy are conserved — and explore where elastic and inelastic collisions differ.
우주의 회계 장부.
The universe's ledger.
왜 어떤 양들은 아무리 복잡한 일이 일어나도 끝내 사라지지 않을까요?
보존 법칙은 회계 장부에 비유하면 이해하기 쉽습니다. 회사의 돈이 현금에서 예금으로, 다시 주식으로 형태를 바꾸어도 총자산은 그대로이듯, 자연에서도 어떤 양은 형태만 바뀔 뿐 총량이 변하지 않습니다. 떨어지는 사과를 보세요. 높은 곳에 있던 위치 에너지($mgh$)가 떨어지면서 운동 에너지($\tfrac{1}{2}mv^2$)로 바뀌고, 땅에 부딪히면 그 운동 에너지가 열과 소리로 흩어집니다. 우리 눈에는 에너지가 사라진 듯 보이지만, 흩어진 열까지 모두 더하면 처음과 정확히 같습니다. 사라진 것이 아니라 형태를 바꾼 것이지요.
놀라운 점은 이 보존 법칙들이 단순한 관찰 결과가 아니라는 사실입니다. 1918년 독일의 수학자 에미 뇌터(Emmy Noether)는, 모든 보존 법칙이 자연의 어떤 대칭에서 나온다는 것을 증명했습니다. 물리 법칙이 어제나 오늘이나 똑같다는 시간의 대칭에서 에너지 보존이, 실험을 어디에서 하든 결과가 같다는 공간의 대칭에서 운동량 보존이, 어느 방향으로 돌려놓아도 같다는 회전의 대칭에서 각운동량 보존이 나옵니다. 우주가 가진 깊은 균형이 우리가 아는 보존 법칙의 진짜 뿌리인 셈입니다.
Why do certain quantities refuse to disappear no matter how complex the events around them?
Conservation laws are easiest to understand through the metaphor of an accounting ledger. Just as a company's money may move from cash to deposits to stocks yet its total assets remain the same, certain quantities in nature change only in form while their total stays fixed. Consider a falling apple. Its potential energy ($mgh$) at height converts to kinetic energy ($\tfrac{1}{2}mv^2$) as it falls, then disperses as heat and sound on impact. To our eyes the energy seems to vanish — but add the scattered heat back in and the total matches exactly what we started with. Nothing disappeared; it only changed form.
What is remarkable is that these conservation laws are not merely observed facts. In 1918, German mathematician Emmy Noether proved that every conservation law arises from a symmetry of nature. The symmetry that physical laws are the same today as yesterday (time symmetry) gives energy conservation; the symmetry that experimental results are the same anywhere in space (spatial symmetry) gives momentum conservation; the symmetry that all orientations are equivalent (rotational symmetry) gives angular momentum conservation. The deep balance the universe holds is the true root of the conservation laws we know.
Q1 비탄성 충돌에서 운동 에너지는 사라지는데, 왜 운동량은 그대로일까요?
Q1 In an inelastic collision, kinetic energy is lost — so why is momentum still conserved?
Q2 피겨 스케이터가 팔을 모으면 왜 갑자기 빨리 도나요?
Q2 Why does a figure skater spin faster when pulling their arms in?
고립계의 총에너지 $E_{tot} = KE + PE + (\text{내부 에너지})$ 는 시간에 무관하게 일정합니다. 운동 에너지 $\tfrac{1}{2}mv^2$, 위치 에너지 $mgh$, 그리고 마찰이나 충돌로 생기는 열까지 모두 더하면 처음과 끝이 정확히 같습니다. 에너지는 만들거나 없앨 수 없고 오직 형태를 바꿀 뿐이라는 이 원리가 열역학 제1법칙(Ch.08)으로 이어집니다.
외부에서 알짜힘이 작용하지 않는 계에서는 총운동량 $\sum \vec{p} = \sum m\vec{v}$ 가 일정하게 유지됩니다. 이는 제3법칙의 직접적인 결과로, 내부에서 서로 주고받는 힘은 크기가 같고 방향이 반대라 상쇄되기 때문입니다. 충돌, 폭발, 로켓 분사처럼 내부에서 격렬한 일이 일어나도 전체 운동량의 합은 처음 그대로입니다.
외부 토크가 없으면 각운동량 $\vec{L} = I\vec{\omega}$ 가 보존됩니다. 질량 분포가 회전축에 모이면 관성 모멘트 $I$ 가 줄고, $L$ 을 지키기 위해 각속도 $\omega$ 가 커집니다. 피겨 스케이터의 회전, 행성이 태양에 가까울 때 빨라지는 케플러 제2법칙, 자이로스코프의 방향 유지가 모두 이 보존 법칙의 표현입니다.
에미 뇌터는 1918년, 모든 연속 대칭이 하나의 보존 법칙과 짝을 이룬다는 것을 증명했습니다. 시간 이동 대칭은 에너지 보존을, 공간 이동 대칭은 운동량 보존을, 회전 대칭은 각운동량 보존을 낳습니다. 보존 법칙을 단순한 경험칙에서 우주의 근본 대칭에 대한 진술로 끌어올린, 20세기 물리학에서 가장 깊은 정리로 꼽힙니다.
In an isolated system, total energy $E_{tot} = KE + PE + (\text{internal energy})$ is constant in time. Kinetic energy $\tfrac{1}{2}mv^2$, potential energy $mgh$, and even the heat produced by friction or collision all add up to exactly the initial value. Energy cannot be created or destroyed — only converted between forms. This principle extends into the First Law of Thermodynamics (Ch.08).
In a system with no net external force, the total momentum $\sum \vec{p} = \sum m\vec{v}$ remains constant. This is a direct consequence of the Third Law: internal forces come in equal-and-opposite pairs that cancel exactly. No matter how violent the internal events — collision, explosion, rocket blast — the total momentum of the system is the same before and after.
When no external torque acts, angular momentum $\vec{L} = I\vec{\omega}$ is conserved. When mass distribution moves closer to the rotation axis, moment of inertia $I$ decreases, forcing angular speed $\omega$ to increase to keep $L$ constant. Figure skater spins, Kepler's Second Law (planets speed up near the Sun), and gyroscope stability all express this conservation law.
Emmy Noether proved in 1918 that every continuous symmetry pairs with one conservation law. Time-translation symmetry gives energy conservation; spatial-translation symmetry gives momentum conservation; rotational symmetry gives angular momentum conservation. Noether's theorem elevated conservation laws from observed rules to statements about the fundamental symmetries of the universe — widely regarded as the deepest theorem of 20th-century physics.
에너지, 운동량, 각운동량은 우주의 통장 잔액 같은 것입니다. 돈이 현금에서 카드 포인트로 바뀌어도 총액은 그대로이듯, 이 세 가지는 형태만 바뀔 뿐 총량은 절대 줄지 않아요. 그래서 복잡한 충돌도 "들어온 만큼 나간다"는 한 줄로 풀립니다. 그리고 이 통장이 깨지지 않는 이유는, 우주가 시간과 공간과 방향에 대해 공평하게 똑같기 때문입니다.
Energy, momentum, and angular momentum are like the universe's bank account balance. Money moving from cash to card points to stock options doesn't change the total — the same is true of these three. Even complex collisions reduce to "whatever went in must come out." And the reason these accounts are never broken is that the universe treats time, space, and direction with perfect fairness.
운동량 보존 $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ 와 운동 에너지 보존 $\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2$ 를 함께 풀면, $v_1' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2$ 를 얻습니다. 두 보존식이 두 미지수를 유일하게 결정하지요. 질량이 같으면 두 물체는 속도를 맞바꾸고($v_1'=v_2,\ v_2'=v_1$), 벽처럼 무거운 물체에 부딪히면 속도가 그대로 뒤집힙니다. 시뮬레이터의 충돌 결과가 바로 이 식에서 나옵니다.
알짜힘이 한 일은 운동 에너지의 변화와 같습니다: $W_{net} = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = \Delta KE$. 보존력에 대해서는 위치 에너지를 $\vec{F} = -\nabla U$ 로 정의할 수 있고, 그러면 역학적 에너지 $KE + U$ 가 보존됩니다. 마찰 같은 비보존력이 있으면 그만큼의 에너지가 열로 빠져나가 $\Delta(KE+U) = W_{\text{비보존}}$ 이 됩니다.
라그랑지언 $L$ 이 어떤 연속 변환 아래에서 불변이면, 그에 대응하는 보존량이 존재합니다. $L$ 이 시간에 명시적으로 의존하지 않으면 ($\partial L/\partial t = 0$) 에너지가, 좌표에 의존하지 않으면(순환 좌표) 그 켤레 운동량이 보존됩니다. 일반화 운동량 $p_i = \partial L / \partial \dot{q}_i$ 가 보존되는 조건이 바로 그 좌표 방향의 대칭입니다.
Combining momentum conservation $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ with kinetic energy conservation $\tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2$ yields $v_1' = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 + \frac{2m_2}{m_1+m_2}v_2$. Two conservation equations uniquely determine two unknowns. Equal masses exchange velocities ($v_1' = v_2,\ v_2' = v_1$); hitting a very heavy wall reverses speed. The simulator uses these formulas directly.
The net work done by all forces equals the change in kinetic energy: $W_{net} = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = \Delta KE$. For conservative forces we can define potential energy as $\vec{F} = -\nabla U$, and then mechanical energy $KE + U$ is conserved. When non-conservative forces like friction act, they drain energy into heat: $\Delta(KE+U) = W_{\text{non-conservative}}$.
If the Lagrangian $\mathcal{L}$ is invariant under a continuous transformation, a corresponding conserved quantity exists. When $\mathcal{L}$ does not depend explicitly on time ($\partial \mathcal{L}/\partial t = 0$), energy is conserved. When it does not depend on a coordinate (cyclic coordinate), the conjugate generalised momentum $p_i = \partial \mathcal{L} / \partial \dot{q}_i$ is conserved. Symmetry in a coordinate direction is the mathematical condition for that momentum's conservation.
오늘 우리는 에너지, 운동량, 각운동량이라는 세 가지 보존량을 만났습니다. 이들은 형태를 바꿀 수는 있어도 고립계에서는 총량이 결코 변하지 않으며, 그 덕분에 과정을 일일이 풀지 않고도 처음과 끝을 이어 답을 구할 수 있습니다. 더 깊이 들어가면 이 보존 법칙들은 우주가 시간과 공간과 방향에 대해 지닌 대칭에서 나온다는 것을 뇌터의 정리가 알려 주지요. 다음 레슨에서는 세 번째 보존량인 각운동량의 무대, 곧 회전 운동을 본격적으로 다룹니다.
Today we met the three conserved quantities: energy, momentum, and angular momentum. In an isolated system their totals never change, though their forms may transform freely — and that is what lets us answer questions by comparing start and end without solving every intermediate step. Going deeper, Noether's theorem reveals that these conservation laws arise from the symmetries the universe holds with respect to time, space, and direction. The next lesson takes the third conserved quantity, angular momentum, as its focus: rotational motion.
CHECK 스스로 확인하기
1. 정지한 2 kg 수레에 3 kg 찰흙이 4 m/s 로 날아와 붙었습니다. 함께 움직이는 속도는?
→ 운동량 보존 $3\times4 = (3+2)v$ 에서 $v = 12/5 = 2.4$ m/s 입니다(완전 비탄성).
2. 높이 5 m 에서 가만히 떨어뜨린 공이 땅에 닿는 순간의 속도는?(g≈10, 마찰 무시)
→ $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$ 에서 $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times10\times5} = 10$ m/s 입니다.
3. 팔을 편 채 도는 사람이 팔을 모으면 회전 속도는 어떻게 될까요? 어떤 양이 보존되나요?
→ 각운동량 $L = I\omega$ 가 보존되므로, $I$ 가 줄면 $\omega$ 가 커져 더 빨리 돕니다.
CHECK Self-check
1. A 3 kg lump of clay travelling at 4 m/s hits a stationary 2 kg cart and sticks to it. What is their combined speed?
→ Momentum conservation: $3\times4 = (3+2)v$, so $v = 12/5 = 2.4$ m/s (perfectly inelastic collision).
2. A ball released from rest at height 5 m — what is its speed just as it hits the ground? (g ≈ 10, ignore air resistance)
→ Energy conservation: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2$, so $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\times10\times5} = 10$ m/s.
3. A person spinning with arms extended pulls their arms in. What happens to their rotation speed, and what quantity is conserved?
→ Angular momentum $L = I\omega$ is conserved. Reducing $I$ increases $\omega$, so the spin speeds up.