CH00_PHYSICS

LESSON01 / 07

LANGKO+EN

VERIFIED2026.05.26

Position, velocity, acceleration.

운동학, 위치·속도·가속도 (Kinematics)

Kinematics — position, velocity, acceleration

날아가는 야구공, 출발하는 자동차, 태양을 도는 지구, 그리고 반도체 안을 흐르는 전자까지, 세상의 모든 움직임은 사실 놀라울 만큼 단순한 언어로 적을 수 있습니다. 그 언어는 단 세 개의 함수로 이루어져 있습니다. 어디에 있는가를 말하는 위치, 얼마나 빨리 어느 방향으로 움직이는가를 말하는 속도, 그리고 속도가 얼마나 빨리 변하는가를 말하는 가속도입니다. 운동학(kinematics)은 "왜 움직이는가"라는 원인을 잠시 옆에 두고, 오직 "어떻게 움직이는가"라는 묘사 자체에 집중하는 학문입니다.

A baseball in flight, a car pulling away, the Earth orbiting the Sun, and electrons flowing through a semiconductor — every motion in the world can be written in a surprisingly simple language. That language consists of just three functions: position, which says where something is; velocity, which says how fast and in what direction it moves; and acceleration, which says how rapidly velocity changes. Kinematics sets aside the question of why things move and focuses entirely on how they move.

이 세 함수는 따로 노는 것이 아니라 미분이라는 끈으로 단단히 묶여 있습니다. 위치를 시간으로 미분하면 속도가 되고 ($\vec v = d\vec r / dt$), 속도를 다시 미분하면 가속도가 됩니다 ($\vec a = d\vec v / dt$). 거꾸로 가속도를 알면 적분으로 속도를, 속도를 적분하면 위치를 되찾을 수 있습니다. 이 한 줄짜리 관계가 다음 레슨에서 배울 뉴턴의 운동 법칙, 로켓의 궤도 계산, 자동차 충돌 시뮬레이션, 게임 속 물리 엔진까지 거의 모든 동역학의 출발점이 됩니다.

The three functions are tightly linked by differentiation. Differentiating position with respect to time gives velocity ($\vec v = d\vec r / dt$), and differentiating velocity gives acceleration ($\vec a = d\vec v / dt$). Working in reverse, integrating acceleration recovers velocity, and integrating velocity recovers position. This single chain of relationships is the starting point for Newton's laws, rocket-trajectory calculations, car-crash simulations, and game-physics engines.

특히 가속도가 일정한 경우에는 미적분 없이도 운동을 완전히 풀어내는 다섯 개의 깔끔한 공식이 존재합니다. 자유낙하하는 물체, 일정한 힘으로 가속하는 자동차가 모두 여기에 해당합니다. 아래의 운동 실험실에서 등속, 등가속, 포물선, 원운동 네 가지를 직접 돌려 보며 속도와 가속도 화살표가 어떻게 움직이는지 눈으로 확인해 보세요. 특히 원운동에서는 속력은 그대로인데 속도는 매 순간 변한다는, 처음에는 낯설지만 운동학의 핵심을 꿰뚫는 장면을 만나게 됩니다.

When acceleration is constant, five tidy equations let you solve the motion entirely without calculus. Free-fall and a car accelerating under a steady push are both covered. Use the motion laboratory below to run all four modes — uniform, uniformly accelerated, projectile, and circular — and watch how the velocity and acceleration arrows behave. In circular motion in particular you will see something striking: the speed stays constant while the velocity changes every instant, a seemingly paradoxical result that lies at the heart of kinematics.

Lesson 02 · Newton 1법칙Newton's 1st law → ← Chapter Overview

Uniform motion · 등속도Uniform motion VECTORS: v a

DRAG TO PAN (FUTURE)

Principles · 4개Principles — 4 ideas

운동의 세 함수

Three functions of motion

Position, velocity, acceleration — three functions of time

"움직인다"는 말을 수학으로 적으면 어떤 모습일까요?

17세기, 갈릴레오 갈릴레이는 빗면을 굴러 내려가는 공을 끈질기게 관찰하다가 한 가지 사실을 알아챘습니다. 공이 지나간 거리가 시간의 제곱에 비례한다는 것이었지요. 그때까지 사람들은 무거운 물체가 더 빨리 떨어진다고 믿었지만, 갈릴레오는 움직임에는 숨은 규칙이 있고 그 규칙을 수로 적을 수 있다는 것을 보여 주었습니다. 그 뒤를 이은 뉴턴과 라이프니츠가 미분이라는 도구를 만들면서, 움직임을 "순간의 변화"로 정확히 잡아내는 방법이 완성되었습니다.

오늘 우리가 다룰 것은 그 묘사의 언어입니다. 입자가 지금 어디에 있는지를 시간의 함수로 적은 것이 위치 $\vec r(t)$이고, 그 위치가 순간순간 어떻게 변하는지가 속도 $\vec v(t)$이며, 속도가 다시 어떻게 변하는지가 가속도 $\vec a(t)$입니다. 이 셋은 미분으로 한 줄에 꿰어져 있어서, 하나만 알아도 나머지를 끌어낼 수 있습니다. 아래에서 자주 헷갈리는 질문 두 가지부터 함께 풀어 보겠습니다.

What does "motion" look like when written as mathematics?

In the seventeenth century, Galileo Galilei observed a ball rolling down an inclined plane and noticed something remarkable: the distance covered was proportional to the square of the elapsed time. People had long believed that heavier objects fell faster, but Galileo showed that motion obeys hidden rules that can be expressed numerically. Newton and Leibniz later developed calculus, completing the tools needed to capture motion as "instantaneous change."

What we study today is that descriptive language. The position $\vec r(t)$ records where a particle is as a function of time; velocity $\vec v(t)$ records how that position changes instant by instant; and acceleration $\vec a(t)$ records how velocity itself changes. All three are linked by differentiation — knowing any one lets you derive the others. Let us begin by untangling two questions that often cause confusion.

Q1 속력은 그대로인데 속도가 변한다는 말, 모순 아닌가요?

전혀 모순이 아닙니다. 비밀은 속도가 크기와 방향을 함께 가진 벡터라는 데 있습니다. 속력은 그 벡터의 크기, 즉 빠르기만을 가리키는 숫자일 뿐입니다. 원을 따라 일정한 빠르기로 도는 자동차를 떠올려 보세요. 속력계 바늘은 시속 60 km 에 고정되어 있어도, 자동차가 향하는 방향은 매 순간 바뀝니다. 방향이 바뀌면 속도 벡터가 바뀐 것이고, 속도가 바뀌었다는 것은 곧 가속도가 0이 아니라는 뜻입니다. 그래서 일정한 속력으로 도는 원운동에도 어김없이 가속도가 존재하며, 그 가속도는 항상 원의 중심을 향합니다. 이것이 구심 가속도입니다. 위 실험실의 원운동 모드에서 |v| 값은 고정인데 v_x, v_y 가 계속 바뀌는 모습이 바로 이 장면입니다.

Q1 If speed stays constant, how can velocity be changing? Is that not a contradiction?

Not at all. The key is that velocity is a vector with both magnitude and direction. Speed is merely the magnitude of that vector — a plain number. Imagine a car driving in a circle at a constant 60 km/h. The speedometer needle sits fixed, yet the direction the car is heading changes every instant. When direction changes, the velocity vector changes, and a changing velocity means the acceleration is not zero. Circular motion at constant speed therefore always involves acceleration, directed toward the centre of the circle — the centripetal acceleration. In the laboratory above, watch the Circular mode: |v| stays fixed while v_x and v_y keep changing; that is precisely this effect.

Q2 가속도가 위를 향해도 물체는 아래로 떨어질 수 있나요?

네, 얼마든지 그럴 수 있습니다. 가속도는 속도가 어느 쪽으로 변하는지를 알려 줄 뿐, 물체가 지금 어디로 가고 있는지를 말해 주지는 않기 때문입니다. 위로 던진 공을 생각해 보세요. 올라가는 동안 공은 분명히 위로 움직이지만, 중력 가속도는 내내 아래를 향합니다. 그래서 공의 위쪽 속도는 점점 줄어들다가 꼭대기에서 0이 되고, 그 다음 비로소 방향을 바꿔 아래로 떨어집니다. 즉 속도와 가속도의 방향이 반대일 때는 물체가 "감속"하고, 같은 방향일 때는 "가속"합니다. 위치, 속도, 가속도가 서로 독립적인 정보라는 사실을 알면 이런 상황이 더 이상 헷갈리지 않습니다.

Q2 Can an object be falling downward even when its acceleration points upward?

Yes, absolutely. Acceleration tells you how velocity is changing, not which way the object is currently moving. Consider a ball thrown upward. While it is still rising, the ball is clearly moving upward — yet the gravitational acceleration points steadily downward the entire time. The upward component of velocity therefore decreases, reaches zero at the peak, and only then does the ball reverse direction and fall. When velocity and acceleration point in opposite directions, the object is slowing down; when they point the same way, it is speeding up. Recognising that position, velocity, and acceleration are three independent pieces of information eliminates this confusion entirely.

위치 벡터 Position vector

시간의 함수로서 입자의 좌표. 모든 운동학의 출발점.

Intuition · 직관

"어디 있는가?" 의 답을 시간으로 바꾼 것. 자동차 GPS가 매초 기록하는 좌표가 바로 $\vec r(t)$ 입니다. 과거·현재·미래의 모든 위치를 시간 하나로 묶은 한 줄 함수.

Principle · 정의

3차원에서: $\vec r(t) = x(t)\hat i + y(t)\hat j + z(t)\hat k$.

SI 단위: 미터 (m). 기준점 (origin) 을 선택해야 좌표가 결정됨, 운동 자체는 좌표 선택에 무관 (Galilean invariance).

Sources · 출처

TXT OpenStax University Physics Vol.1 Ch.3 (CC BY 4.0) TXT Halliday Resnick 11e Ch.2 OCW MIT 8.01 Lec.2

속도 Velocity = dr/dt

위치의 시간 도함수. 방향과 크기 모두 가지는 벡터.

Intuition · 직관

속력계가 보여주는 60 km/h 는 속도의 크기만. 진짜 속도는 "어느 방향으로 60 km/h" 까지 포함. 자동차가 원을 따라 일정 속력으로 돌아도 속도는 매 순간 변합니다, 방향이 바뀌니까.

Principle · 정의

순간 속도: $\vec v(t) = \dfrac{d\vec r}{dt}$

평균 속도: $\bar{\vec v} = \dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t}$, 변위(시작에서 끝까지의 직선거리) 를 시간으로 나눔.

SI: m/s. 속도(velocity)와 속력(speed) 의 차이를 위 sandbox 의 원운동 (Circular) 에서 확인: |v| 는 일정한데 v_x, v_y 는 계속 변합니다.

Sources · 출처

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.2-3.3 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.4 TXT Kleppner & Kolenkow 2e Ch.1

가속도 Acceleration = dv/dt

속도의 시간 도함수. 힘이 작용한 방향과 같은 방향.

Intuition · 직관

"얼마나 빨리 속도가 변하는가." 자동차에서 가속 페달을 밟으면 등 뒤에 압력을 느끼는 그 양 (관성). 공중에 던진 공이 떨어지는 이유, 지구의 중력 가속도 g = 9.81 m/s² 가 항상 아래로 작용하기 때문.

Principle · 정의

순간 가속도: $\vec a(t) = \dfrac{d\vec v}{dt} = \dfrac{d^2\vec r}{dt^2}$

SI: m/s². 가속도가 0이면, 속도 일정. 가속도가 일정하면, 등가속도 운동. 위 sandbox 의 4 모드:

Uniform: $\vec a = 0$, Newton 1법칙
Uniform accel: $\vec a = (a_x, 0)$, F = ma 에서 일정 힘
Projectile: $\vec a = (0, -g)$, 중력만 작용
Circular: $\vec a = -\omega^2 \vec r$, 중심향 가속도 (구심)

Sources · 출처

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.4 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.5 OCW MIT 8.01 Lec.3

등가속도 5 방정식 5 kinematic equations

$\vec a$가 일정할 때, 미분·적분 없이 풀리는 5 가지 공식.

Principle · 등가속도 운동의 5 방정식

1차원에서 ($a$ = constant, $v_0$ = 초기 속도, $x_0$ = 초기 위치):

#	방정식	변수	없는 변수
1	v = v₀ + at	v, v₀, a, t	x
2	x = x₀ + v₀t + ½at²	x, x₀, v₀, a, t	v
3	v² = v₀² + 2a(x − x₀)	v, v₀, a, x, x₀	t
4	x = x₀ + ½(v + v₀)t	x, x₀, v, v₀, t	a
5	x = x₀ + vt − ½at²	x, x₀, v, a, t	v₀

사용법: 문제에서 모르는 변수가 하나뿐이면, 그 변수가 없는 방정식을 골라 대입.

Example · 자유낙하 한 줄 계산

높이 20 m 에서 정지 상태로 떨어뜨린 공이 바닥에 닿을 때 속도는?

주어진 값: $v_0 = 0$, $a = -g = -9.81$, $\Delta x = -20$ → 방정식 3 사용 (시간 t 없음):

v² = 0² + 2(−9.81)(−20) = 392.4 → |v| ≈ 19.8 m/s (≈ 71 km/h)

Sources · 출처

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.5 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.6

Position vector

A particle's coordinates as a function of time. The starting point of all kinematics.

Intuition

The answer to "where is it?" expressed as a function of time. The GPS coordinates a car records every second are exactly $\vec r(t)$ — a single function threading past, present, and future positions together.

Principle — definition

In three dimensions: $\vec r(t) = x(t)\hat i + y(t)\hat j + z(t)\hat k$.

SI unit: metre (m). Coordinates require a chosen origin; the motion itself is independent of that choice (Galilean invariance).

Sources

TXT OpenStax University Physics Vol.1 Ch.3 (CC BY 4.0) TXT Halliday Resnick 11e Ch.2 OCW MIT 8.01 Lec.2

Velocity = dr/dt

The time derivative of position. A vector with both magnitude and direction.

Intuition

A speedometer reading of 60 km/h gives only the magnitude. True velocity also includes direction: "60 km/h northward." A car circling at constant speed has a velocity that changes every instant, because its direction keeps changing.

Principle — definition

Instantaneous velocity: $\vec v(t) = \dfrac{d\vec r}{dt}$

Average velocity: $\bar{\vec v} = \dfrac{\Delta \vec r}{\Delta t}$, displacement divided by elapsed time.

SI: m/s. Confirm the velocity vs. speed distinction in the Circular mode above: |v| stays fixed while v_x, v_y keep changing.

Sources

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.2-3.3 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.4 TXT Kleppner & Kolenkow 2e Ch.1

Acceleration = dv/dt

The time derivative of velocity. Points in the same direction as the net force.

Intuition

"How quickly is velocity changing?" The pressure you feel on your back when you press the accelerator is inertia resisting that change. A ball thrown upward falls because Earth's gravitational acceleration g = 9.81 m/s² always points downward.

Principle — definition

Instantaneous acceleration: $\vec a(t) = \dfrac{d\vec v}{dt} = \dfrac{d^2\vec r}{dt^2}$

SI: m/s². Zero acceleration means constant velocity. Constant acceleration means uniformly accelerated motion. The four sandbox modes:

Uniform: $\vec a = 0$, Newton's 1st law
Uniform accel: $\vec a = (a_x, 0)$, constant force from F = ma
Projectile: $\vec a = (0, -g)$, gravity only
Circular: $\vec a = -\omega^2 \vec r$, centripetal acceleration

Sources

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.4 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.5 OCW MIT 8.01 Lec.3

5 kinematic equations

Five equations that solve constant-$\vec a$ motion without calculus.

Principle — the 5 equations for constant acceleration

In one dimension ($a$ = constant, $v_0$ = initial velocity, $x_0$ = initial position):

#	Equation	Variables	Missing
1	v = v₀ + at	v, v₀, a, t	x
2	x = x₀ + v₀t + ½at²	x, x₀, v₀, a, t	v
3	v² = v₀² + 2a(x − x₀)	v, v₀, a, x, x₀	t
4	x = x₀ + ½(v + v₀)t	x, x₀, v, v₀, t	a
5	x = x₀ + vt − ½at²	x, x₀, v, a, t	v₀

Usage: identify the one unknown variable, then pick the equation that omits it.

Example — free-fall in one line

A ball dropped from rest at 20 m — what is its speed at impact?

Given: $v_0 = 0$, $a = -g = -9.81$, $\Delta x = -20$ — use equation 3 (no t):

v² = 0² + 2(−9.81)(−20) = 392.4 → |v| ≈ 19.8 m/s (≈ 71 km/h)

Sources

TXT OpenStax Vol.1 Ch.3.5 TXT Halliday Resnick 11e Ch.2.6

① 위치에서 속도로, 속도에서 가속도로
움직임의 세 함수는 미분이라는 한 가지 연산으로 차례차례 연결됩니다. 위치를 시간으로 한 번 미분하면 속도가 되고 ($\vec v = d\vec r/dt$), 속도를 한 번 더 미분하면 가속도가 됩니다 ($\vec a = d\vec v/dt = d^2\vec r/dt^2$). 그래서 위치 그래프의 기울기가 속도이고, 속도 그래프의 기울기가 가속도입니다. 위치만 주어져도 우리는 그 물체가 얼마나 빠르게, 그리고 점점 빨라지는지 느려지는지를 모두 읽어 낼 수 있습니다.

② 거꾸로, 가속도에서 위치를 되찾기
미분의 반대 방향인 적분을 쓰면 길을 거슬러 올라갈 수 있습니다. 가속도를 시간으로 적분하면 속도가 되고, 속도를 다시 적분하면 위치가 됩니다. 현실의 시뮬레이션은 대부분 이 방향으로 작동합니다. 어떤 힘이 작용하는지(=가속도)를 먼저 정하고, 그것을 조금씩 더해 가며 다음 순간의 속도와 위치를 예측하는 것이지요. 위 실험실의 등속·등가속·포물선 모드도 매 프레임 가속도를 속도에 더하고 속도를 위치에 더하는 방식으로 움직입니다.

③ 가속도가 일정하면 다섯 공식이 열린다
가속도 $a$가 시간 내내 일정한 특별한 경우에는, 미적분 없이도 운동을 완전히 풀어내는 다섯 개의 공식이 나옵니다. $v = v_0 + at$, $\;x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$, $\;v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ 등이 그것입니다. 자유낙하, 일정한 힘으로 가속하는 자동차, 빗면을 미끄러지는 물체가 모두 여기에 해당합니다. 문제에서 모르는 변수가 하나뿐일 때, 그 변수가 빠진 공식을 골라 대입하면 깔끔하게 풀립니다.

핵심 위치·속도·가속도는 미분과 적분으로 서로 오갈 수 있는 한 가족입니다. 운동학은 그 관계를 이용해 "어떻게 움직이는가"를 완벽히 묘사하고, 가속도가 일정한 흔한 경우에는 다섯 공식으로 답을 곧장 얻습니다. 그 다음 레슨의 뉴턴 법칙은 여기에 "왜 그 가속도가 생기는가"라는 원인을 더해 줍니다.

① From position to velocity, from velocity to acceleration
The three functions of motion are linked by a single operation: differentiation. Differentiating position once with respect to time gives velocity ($\vec v = d\vec r/dt$); differentiating velocity gives acceleration ($\vec a = d\vec v/dt = d^2\vec r/dt^2$). The slope of a position graph is velocity; the slope of a velocity graph is acceleration. Given only a position record, we can read off both how fast the object is moving and whether it is speeding up or slowing down.

② Reversing the direction: recovering position from acceleration
Integration is the inverse of differentiation, letting us retrace the chain. Integrating acceleration yields velocity; integrating velocity yields position. Most real-world simulations work in this direction: first specify the forces (i.e. the acceleration), then add them up step by step to predict the velocity and position at each subsequent moment. The uniform, uniformly-accelerated, and projectile modes in the laboratory above all operate precisely this way — each frame adds acceleration to velocity and velocity to position.

③ When acceleration is constant, five equations emerge
In the special case where acceleration $a$ is constant throughout, five tidy equations solve the motion entirely without calculus: $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$, $v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$, and two more. Free-fall, a car accelerating under a steady push, and a block sliding down a ramp all fall into this category. When only one variable is unknown, select the equation that omits it and substitute directly.

Key insight Position, velocity, and acceleration form a family connected by differentiation and integration. Kinematics uses that relationship to describe motion completely, and the five constant-acceleration equations provide direct answers for the most common everyday case. The next lesson's Newton's laws add the missing piece: why that particular acceleration arises.

쉽게 말하면

위치는 "지금 내가 서 있는 곳", 속도는 "어느 쪽으로 얼마나 빨리 걷는가", 가속도는 "그 걸음을 점점 빠르게 하는가 느리게 하는가"입니다. 자동차 비유로 보면 위치는 내비게이션의 점, 속도는 속도계 바늘과 방향, 가속도는 가속 페달과 브레이크입니다. 페달을 밟으면(가속도) 속도계가 올라가고, 속도가 쌓이면 내비게이션의 점이 움직입니다. 세 가지가 이렇게 한 줄로 이어져 있습니다.

IN PLAIN TERMS

Position is "where I am standing right now." Velocity is "which direction I am walking and how fast." Acceleration is "am I walking faster and faster, or slowing down?" In a car: position is the dot on the navigation map, velocity is the speedometer needle and the direction of travel, acceleration is the accelerator pedal and brake. Pressing the pedal (acceleration) makes the speedometer rise; as speed accumulates, the navigation dot moves. All three are linked in exactly this chain.

학술 · 수식으로 다지기

벡터 운동학과 성분 분해
일반적인 운동은 $\vec r(t) = x(t)\hat i + y(t)\hat j + z(t)\hat k$로 적고, 속도와 가속도는 각 성분을 따로 미분해 얻습니다. 포물선 운동이 좋은 예인데, 가로 방향은 $a_x = 0$이라 등속이고 세로 방향은 $a_y = -g$라 등가속입니다. 두 방향이 서로 간섭하지 않고 독립적으로 진행되며, 이 독립성 덕분에 복잡해 보이는 포물선도 두 개의 1차원 문제로 쪼개 풀 수 있습니다.

등속 원운동의 구심 가속도
반지름 $r$인 원을 각속도 $\omega$로 도는 입자의 위치는 $\vec r(t) = r(\cos\omega t,\ \sin\omega t)$입니다. 두 번 미분하면 $\vec a = -\omega^2 \vec r$가 되어, 가속도의 크기는 $a = \omega^2 r = v^2/r$로 일정하고 방향은 늘 중심을 향합니다. 속력 $|\vec v| = \omega r$은 변하지 않는데도 가속도가 0이 아닌 것은, 속도 벡터의 방향이 끊임없이 회전하기 때문입니다.

등가속도 공식의 유도
$a$가 상수이면 $\frac{dv}{dt}=a$를 적분해 $v = v_0 + at$를 얻고, 다시 $\frac{dx}{dt}=v$를 적분해 $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$를 얻습니다. 이 두 식에서 시간 $t$를 소거하면 $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$가 나옵니다. 즉 다섯 공식은 새로운 법칙이 아니라 미분 관계를 적분한 결과이며, 그래서 가속도가 일정할 때만 성립합니다.

출처 OpenStax University Physics Vol.1 Ch.3 (CC BY 4.0) · Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics 11e Ch.2-4 · Kleppner & Kolenkow, An Introduction to Mechanics 2e Ch.1.

Academic — consolidating the mathematics

Vector kinematics and component decomposition
General motion is written $\vec r(t) = x(t)\hat i + y(t)\hat j + z(t)\hat k$; velocity and acceleration follow by differentiating each component separately. Projectile motion illustrates this well: horizontally $a_x = 0$ so the motion is uniform, while vertically $a_y = -g$ gives constant downward acceleration. The two directions evolve independently without interfering with each other, so the apparently complex parabola splits neatly into two one-dimensional problems.

Centripetal acceleration in uniform circular motion
A particle moving in a circle of radius $r$ at angular speed $\omega$ has position $\vec r(t) = r(\cos\omega t,\ \sin\omega t)$. Differentiating twice yields $\vec a = -\omega^2 \vec r$, so the magnitude is $a = \omega^2 r = v^2/r$ (constant) and the direction always points toward the centre. The fact that $|\vec v| = \omega r$ does not change yet the acceleration is non-zero arises because the direction of the velocity vector is rotating continuously.

Derivation of the constant-acceleration equations
When $a$ is constant, integrating $\frac{dv}{dt}=a$ gives $v = v_0 + at$, and integrating $\frac{dx}{dt}=v$ gives $x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 a t^2$. Eliminating $t$ between these two yields $v^2 = v_0^2 + 2a(x-x_0)$. The five equations are therefore not new laws but consequences of integrating the differential relations; they hold only when acceleration is constant.

Sources OpenStax University Physics Vol.1 Ch.3 (CC BY 4.0) · Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics 11e Ch.2-4 · Kleppner & Kolenkow, An Introduction to Mechanics 2e Ch.1.

실제 세계의 응용

Real-world applications

교통 · 등가속도

제동 거리 계산

자동차가 멈출 때까지 가는 거리는 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$ 공식으로 구합니다. 속도가 두 배가 되면 제동 거리는 네 배로 늘어나는데, 속력이 제곱으로 들어가기 때문입니다. 도로 규정 속도가 안전과 직결되는 이유입니다.

우주 · 적분

로켓 궤도 예측

엔진이 만드는 추력과 중력으로 가속도를 정하고, 그것을 시간으로 적분해 속도와 위치를 한 발 한 발 예측합니다. 운동학의 적분 방향이 그대로 항법 계산의 뼈대가 됩니다.

스포츠 · 포물선

투포환과 골프

던진 물체는 가로로는 등속, 세로로는 중력 등가속으로 움직여 포물선을 그립니다. 가장 멀리 보내는 발사각이 약 45도인 것도 이 두 운동의 조합에서 나오는 결과입니다.

게임 · 수치 적분

물리 엔진

게임 속 캐릭터의 점프와 낙하는 매 프레임 가속도를 속도에, 속도를 위치에 더하는 방식으로 계산합니다. 위 실험실이 움직이는 원리와 정확히 같습니다.

측정 · 미분

스마트폰 가속도계

휴대폰의 가속도 센서가 읽은 값을 시간으로 적분하면 속도와 이동 거리를 추정할 수 있습니다. 만보계와 화면 자동 회전이 모두 이 원리를 활용합니다.

천문 · 구심 가속도

행성과 위성 궤도

지구를 도는 인공위성은 일정한 속력으로 돌지만 늘 지구 중심을 향해 가속됩니다. 이 구심 가속도를 중력이 정확히 채워 줄 때 안정한 원궤도가 유지됩니다.

Transport · constant acceleration

Braking distance

The distance a car travels before stopping is found from $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$. Doubling speed quadruples the braking distance, because speed enters as a square. This is the physical basis behind road speed limits and safe-following-distance rules.

Space · integration

Rocket trajectory prediction

Engine thrust and gravity determine acceleration; integrating that over time yields velocity and then position, step by step. The integration direction of kinematics is the backbone of spacecraft navigation calculations.

Sport · projectile

Shot put and golf

A thrown object moves at constant velocity horizontally while accelerating downward under gravity, tracing a parabola. The launch angle of about 45° that maximises range follows directly from combining those two independent motions.

Games · numerical integration

Physics engines

A game character's jump and fall are computed each frame by adding acceleration to velocity and velocity to position — exactly how the laboratory above works.

Measurement · differentiation

Smartphone accelerometer

Integrating a phone's accelerometer readings over time estimates velocity and displacement. Pedometers and automatic screen rotation both exploit this principle.

Astronomy · centripetal acceleration

Planetary and satellite orbits

A satellite orbiting Earth moves at constant speed yet is continually accelerated toward Earth's centre. Gravity supplying exactly that centripetal acceleration maintains a stable circular orbit.

정리

움직임은 위치, 속도, 가속도라는 세 함수로 완전히 묘사되며, 이 셋은 미분과 적분으로 서로 오가는 한 가족입니다. 속도는 크기와 방향을 가진 벡터라서, 속력이 일정해도 방향이 바뀌면 속도와 가속도가 변합니다. 가속도가 일정한 흔한 경우에는 다섯 개의 운동 공식으로 답을 곧장 얻을 수 있습니다. 이 묘사의 언어를 손에 쥐었으니, 다음 레슨에서는 "왜 그런 가속도가 생기는가"를 설명하는 뉴턴의 운동 법칙으로 넘어갑니다.

Summary

Motion is fully described by three functions — position, velocity, and acceleration — linked together by differentiation and integration. Because velocity is a vector with both magnitude and direction, even constant speed implies changing velocity (and therefore non-zero acceleration) whenever direction changes. In the common case of constant acceleration, five equations deliver answers directly. Now that we hold this descriptive language, the next lesson asks the deeper question: why does that particular acceleration arise? — which is exactly what Newton's laws answer.

CHECK 스스로 확인하기

1. 정지 상태에서 20 m 높이로 떨어뜨린 공이 바닥에 닿는 순간의 속력은? ($g \approx 9.81$ m/s²)
→ 시간이 빠진 공식 $v^2 = v_0^2 + 2a\Delta x$를 씁니다. $v^2 = 0 + 2(9.81)(20) = 392.4$이므로 $|v| \approx 19.8$ m/s, 약 71 km/h입니다.

2. 일정한 속력으로 원을 도는 자동차의 가속도는 0일까요?
→ 아닙니다. 속력은 일정해도 속도의 방향이 계속 바뀌므로 가속도가 존재하며, 그 방향은 항상 원의 중심을 향합니다(구심 가속도).

3. 위로 던진 공이 가장 높이 올라간 순간, 속도와 가속도는 각각 얼마일까요?
→ 속도는 0이지만 가속도는 여전히 아래로 $g$입니다. 그래서 그 순간 멈춘 듯 보여도 곧바로 다시 떨어지기 시작합니다.

CHECK Self-check

1. A ball dropped from rest at a height of 20 m — what is its speed at the moment of impact? ($g \approx 9.81$ m/s²)
Use equation 3 (no t): $v^2 = 0 + 2(9.81)(20) = 392.4$, so $|v| \approx 19.8$ m/s (about 71 km/h).

2. Is the acceleration of a car moving in a circle at constant speed equal to zero?
No. Even though speed is constant, the direction of velocity keeps changing, so acceleration is non-zero and points toward the centre of the circle (centripetal acceleration).

3. At the very top of a ball's trajectory after being thrown upward, what are the velocity and acceleration?
Velocity is zero, but acceleration is still $g$ downward. The ball appears to pause momentarily yet immediately begins falling again.

이어서 볼 개념Continue with

CH.00 · L02뉴턴 제1법칙Newton's first law CH.00 · L03힘과 가속도 F=maNewton's second law CH.09 · L01파동과 진동Waves & oscillation

"Three functions — r, v, a — that explain every moving thing."

떨어지는 사과부터 행성·로켓·반도체 안의 전자까지, 모든 움직임의 묘사는 결국 위치·속도·가속도 세 함수의 관계로 환원됩니다. Newton 의 3법칙 (Lesson 02-04) 은 이 위에서 "왜 가속도가 그렇게 되는가" 를 설명합니다.

TXT OpenStax University Physics Vol.1 Ch.3 (CC BY 4.0) · TXT Halliday Resnick 11e Ch.2-4 · OCW MIT 8.01 Lec.1-3

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