CH03_CRYSTAL
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LESSON02 / 07
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LANGKO+EN
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VERIFIED2026.05.26

Atoms, hand by hand.

원자 단위로 만져보기, 클릭으로 위치·기여분·이웃 풀어보기

Touching atoms — click to reveal position, contribution, and nearest neighbours

Lesson 01에서 만났던 숫자들, 그러니까 충전율 APF 0.74, 배위수 CN 12, 단위격자 당 원자수 N 4 같은 값들은 사실 외워야 하는 상수가 아니었습니다. 이 숫자들은 모두 "한 원자가 어디에 앉아 있고, 누구와 맞닿아 있는가"라는 단 하나의 질문에서 자연스럽게 흘러나온 결과였습니다. 그렇다면 이제 그 질문을 가장 정직하게 던지는 방법은, 원자 하나하나를 직접 들여다보는 것이겠지요.

The numbers from Lesson 01 — APF 0.74, coordination number CN 12, atoms per unit cell N=4 — were never constants to memorise. Every one of them flows naturally from a single question: where is each atom sitting, and who is it touching? The most honest way to ask that question is to look at each atom directly, one by one.

그래서 이번 레슨에서는 모델 안의 원자를 직접 클릭해 보면서 배웁니다. 어떤 원자를 누르면 그 원자가 단위격자 안에서 차지하는 위치(분수 좌표), 이 셀에 기여하는 몫(1/8 인지 1/2 인지 1 인지), 그리고 가장 가까운 이웃이 몇 개이고 얼마나 떨어져 있는지가 오른쪽 패널에 풀려서 나타납니다. 머리로 외우던 규칙이 눈앞의 원자 위에서 실제로 작동하는 모습을 보게 됩니다.

In this lesson, learning happens by clicking atoms directly in the model. When you click an atom, the right-hand panel reveals its fractional position inside the unit cell, its contribution (1/8, 1/2, or 1), and how many nearest neighbours it has and how far away they are. Rules you once memorised in your head become visible, working live on the atom in front of you.

여기에 더해 hard sphere(단단한 공) 슬라이더로 원자의 크기를 조금씩 키워 볼 수 있습니다. 원자를 키우다 보면 어느 순간 이웃끼리 서로 닿게 되는데, 바로 그 순간이 결정이 가장 빽빽해지는 close-packing 상태입니다. 추상적인 숫자가 어떻게 원자의 위치와 접촉에서 비롯되는지, 손으로 만지듯 확인해 보시기 바랍니다.

You can also use the hard-sphere slider to gradually increase the atom size. At a certain point, neighbouring atoms begin to touch — that moment is the close-packing state, where the crystal is at its densest. Experience for yourself, as if with your own hands, how abstract numbers arise from the positions and contacts of individual atoms.

Lesson 03 · 7 Bravais 격자7 Bravais lattices → ← Lesson 01
FCC · 단위격자 CLICK ATOMS · DRAG TO ROTATE
원자를 클릭해 보세요Click an atom
SCROLL / PINCH TO ZOOM
Structure
Hard sphere
Principle · 클릭이 보여주는 것Principle · what a click reveals

한 원자가 셀의 일부가 되는 과정.

How an atom comes to belong to a cell.

What "this atom belongs to this cell" actually means.

원자를 클릭한다는 것은 어떤 의미일까요?

결정 구조를 배울 때 우리는 흔히 "FCC는 꼭짓점 8개와 면 중앙 6개로 이루어진 구조"라는 말을 외웁니다. 그런데 막상 "왜 꼭짓점 원자는 1/8만 이 셀에 속하는가?"라고 물으면 대부분 잠시 멈추게 됩니다. 그 이유는 원자를 하나하나 들여다본 적이 없기 때문입니다. 원자는 어디에 있고, 누구와 얼마나 가까운지, 그리고 이 셀의 소유권을 몇 개의 이웃 셀과 나눠 갖는지, 이 세 가지를 직접 확인하는 순간 외워야 했던 규칙들이 '당연한 것'으로 바뀝니다.

이 레슨의 세 원리는 그 과정을 단계별로 다룹니다. 첫째, 원자의 위치를 격자상수에 의존하지 않는 분수 좌표로 표현하는 방법을 살펴봅니다. 둘째, 그 좌표가 꼭짓점인지 면인지 내부인지에 따라 공유 셀의 수가 결정되고, 이로부터 기여분(1/8, 1/2, 1)이 자동으로 정해지는 논리를 따라갑니다. 셋째, 가장 가까운 이웃까지의 거리가 결정 구조와 격자상수만으로 완전히 결정된다는 것을 확인합니다. 위의 인터랙티브 모델에서 원자를 직접 눌러 가며 함께 살펴보시기 바랍니다.

What does clicking an atom actually mean?

When studying crystal structures, we often memorise "FCC consists of 8 corner atoms and 6 face-centre atoms." But when asked "why does a corner atom contribute only 1/8 to this cell?", most people pause. The reason is that we have never actually looked at atoms one by one. The moment you confirm directly where each atom sits, how close its neighbours are, and with how many adjacent cells it shares ownership, the rules you had to memorise become self-evident.

The three principles in this lesson walk through that process step by step. First, we examine how to express an atom's position using fractional coordinates that are independent of the lattice parameter. Second, we follow the logic by which those coordinates — corner, face, or interior — determine how many cells share the atom, and from that automatically set the contribution (1/8, 1/2, or 1). Third, we confirm that the distance to the nearest neighbour is completely determined by the crystal structure and lattice parameter alone. Click the atoms in the interactive model above as you follow along.

위치 Fractional Position

한 원자는 단위격자 안에서 분수 좌표 (x, y, z) 로 정의됩니다.

Each atom is defined by fractional coordinates (x, y, z) within the unit cell.

Intuition · 직관Intuition

단위격자 한 변의 길이(격자상수 a)가 크든 작든 상관없이, 원자의 위치는 언제나 a 의 분수로 표현됩니다. 예를 들어 꼭짓점에 있는 원자는 (0, 0, 0)에, 면의 한가운데 있는 원자는 (½, ½, 0)에, 격자 정중앙의 원자는 (½, ½, ½)에 자리합니다. 이렇게 분수로 위치를 적는 방식이 결정학의 표준 표기법인데, 그 덕분에 같은 구조라면 격자가 아무리 커지거나 작아져도 좌표는 똑같이 유지됩니다.

Regardless of whether the lattice parameter a is large or small, an atom's position is always expressed as a fraction of a. For example, a corner atom sits at (0, 0, 0); a face-centre atom at (½, ½, 0); a body-centre atom at (½, ½, ½). This fractional notation is the crystallographic standard, which means coordinates remain identical for the same structure no matter how large or small the lattice is scaled.

Principle · 왜 분수인가Principle · why fractions

실제 위치는 r⃗ = x·a₁ + y·a₂ + z·a₃ 이지만, x, y, z 만 알면 어떤 격자상수에서도 위치가 정해집니다. 즉 분수 좌표는 구조의 본질이고, 격자상수는 그 구조를 "확대·축소" 하는 비율일 뿐입니다.

The actual position is r⃗ = x·a₁ + y·a₂ + z·a₃, but knowing x, y, z alone determines the position for any lattice parameter. Fractional coordinates are therefore the essence of the structure; the lattice parameter is merely the scale factor.

Sources · 출처Sources

TXT Hammond 4e Ch.2  TXT De Graef & McHenry Ch.1

기여분 Contribution to Cell

원자가 셀에 "얼마나" 속해 있는가, 분수 1/8, 1/2, 1.

How much of an atom "belongs" to this cell — fractions 1/8, 1/2, or 1.

Intuition · 직관Intuition

꼭짓점에 놓인 원자는 인접한 여덟 개의 셀이 함께 나눠 가지므로, 우리 셀에 속하는 몫은 1/8 뿐입니다. 면 위의 원자는 두 셀이 나눠 가져 1/2 이고, 격자 안쪽에 온전히 들어앉은 원자는 우리 셀이 혼자 가지므로 1 입니다. 원자를 직접 눌러 그 원자가 어디에 속하는지 확인해 보세요. 그리고 이 기여분을 모두 더하면, 그 합이 바로 단위격자 당 원자수 N 이 됩니다.

A corner atom is shared by eight adjacent cells, so our cell's share is only 1/8. A face atom is split between two cells, giving 1/2. An atom fully inside the cell belongs entirely to it, contributing 1. Click atoms directly to see where each belongs. Adding up all contributions gives the atoms-per-cell count N.

Principle · Lesson 01 의 공유 규칙 적용Principle · applying the Lesson 01 sharing rule

위치 (x, y, z) 의 좌표 중 0 또는 1 인 차원의 개수가 곧 공유 셀 수의 log₂ 입니다.

The number of coordinates in (x, y, z) that equal 0 or 1 is the log₂ of the number of cells sharing that atom.

  • 3개 모두 0 또는 1 → 꼭짓점 → 8셀 공유 → 1/8
  • 2개 → 모서리 → 4셀 공유 → 1/4
  • 1개 → 면 → 2셀 공유 → 1/2
  • 0개 (모두 0 < x < 1) → 내부 → 1
  • All 3 coordinates = 0 or 1 → corner → shared by 8 cells → 1/8
  • 2 coordinates = 0 or 1 → edge → shared by 4 cells → 1/4
  • 1 coordinate = 0 or 1 → face → shared by 2 cells → 1/2
  • 0 (all 0 < x < 1) → interior → 1
Sources · 출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.4 p.65

이웃 Nearest Neighbors

한 원자에서 가장 가까운 다른 원자들의 거리는 결정 구조 + 격자상수만으로 결정됩니다.

The distance from one atom to its nearest neighbours is completely determined by the crystal structure and lattice parameter alone.

Intuition · 직관Intuition

각 결정 구조에는 "가장 가까운 이웃이 어디에 있는가"가 구조에 의해 이미 정해져 있습니다. BCC의 body 중앙 원자에서는 8개의 꼭짓점 원자가 모두 정확히 같은 거리에 놓여 있고, FCC 꼭짓점 원자에서는 같은 평면의 면 원자 4개에 위아래 평면의 8개가 더해져 이웃이 총 12개가 됩니다.

Every crystal structure has a fixed answer to "where are the nearest neighbours?" In BCC, the 8 corner atoms are all at exactly the same distance from the body-centre atom. In FCC, 4 face atoms in the same plane plus 8 in the planes above and below give a total of 12 neighbours for a corner atom.

참고: 이번 viewport는 단위격자 1개만 보여줍니다. 그래서 꼭짓점 원자를 클릭하면 같은 셀 안의 이웃만 라임 선으로 표시됩니다. 전체 결정에서의 "이론적 CN" 은 정보 패널 마지막 줄에 따로 표시됩니다. Lesson 06에서 다중 셀로 모든 이웃을 시각화합니다.

Note: This viewport shows only a single unit cell. Clicking a corner atom therefore shows only neighbours within the same cell (highlighted in lime). The theoretical CN for the full crystal is shown separately in the last row of the info panel. Lesson 06 visualises all neighbours across multiple cells.

Principle · 가장 가까운 이웃 거리 공식Principle · nearest-neighbour distance formulas
  • BCC: d = √3 a / 2 (body ↔ corner)
  • FCC: d = a / √2 (corner ↔ face center)
  • HCP: d = a (같은 평면 직접 이웃)
  • Diamond: d = √3 a / 4 (sp³ 결합 길이)
  • BCC: d = √3 a / 2 (body centre ↔ corner)
  • FCC: d = a / √2 (corner ↔ face centre)
  • HCP: d = a (direct neighbour in the same plane)
  • Diamond: d = √3 a / 4 (sp³ bond length)
Sources · 출처Sources

TXT Callister 10e Ch.3.4  TXT Kittel 8e Ch.1 Table 2  TXT Hammond 4e Ch.5

쉽게 말하면In plain terms

단위격자는 마치 방을 여러 집이 함께 공유하는 연립주택 같습니다. 꼭짓점에 놓인 원자는 인접한 방 여덟 개가 조금씩 나눠 갖기 때문에 우리 방의 몫은 고작 1/8입니다. 면 위의 원자는 두 집이 벽을 사이에 두고 나눠 갖기 때문에 1/2이고, 방 한가운데에 온전히 들어앉은 원자는 우리 집만의 것이라 1이 됩니다. 이 기여분을 전부 더하면 나오는 수가 단위격자 당 원자수 N이고, 각 원자에서 가장 가까운 이웃까지의 거리는 결정 구조가 정해지는 순간 격자상수 하나만으로 계산할 수 있습니다.

A unit cell is like an apartment building where multiple households share the same spaces. A corner atom is divided among eight adjacent rooms, so our room's share is just 1/8. A face atom is split between two apartments sharing a wall, giving 1/2; an atom squarely in the middle of a room belongs entirely to us, so it contributes 1. Adding all these contributions gives N, the atoms per unit cell. And the distance to each atom's nearest neighbour is completely calculable from the lattice parameter alone, the moment the crystal structure is known.

CHECK 스스로 확인하기Self-check

1. FCC의 꼭짓점 원자가 이 셀에 기여하는 몫이 1/8인 이유는 무엇인가요?
→ 꼭짓점 원자는 동시에 인접한 여덟 개의 셀과 공유되기 때문입니다. 여덟 셀이 원자 하나를 동등하게 나눠 가지므로 각 셀의 몫은 1/8입니다.Why does an FCC corner atom contribute only 1/8 to this cell?
→ Because that atom is shared equally by eight adjacent cells. Dividing one atom among eight cells gives each cell a share of 1/8.

2. 분수 좌표 (½, ½, 0)으로 표시된 원자는 어떤 타입이고, 기여분은 얼마인가요?
→ 면 중앙(face center) 원자입니다. 좌표 성분 중 0 또는 1인 값이 한 개(z = 0)이므로 두 셀이 공유하고, 기여분은 1/2입니다.What type is the atom at fractional coordinates (½, ½, 0), and what is its contribution?
→ It is a face-centre atom. Only one coordinate (z = 0) equals 0 or 1, so two cells share it, giving a contribution of 1/2.

3. FCC 구조에서 꼭짓점 원자에게 가장 가까운 이웃까지의 거리는 얼마인가요?
→ a / √2 입니다. FCC에서는 꼭짓점과 인접한 면 중앙 원자가 가장 가까운 이웃이고, 정육면체 면의 대각선이 √2 · a이므로 그 절반인 a / √2가 이웃 거리입니다.What is the nearest-neighbour distance for a corner atom in the FCC structure?
→ a / √2. In FCC the corner's nearest neighbour is the adjacent face-centre atom. The face diagonal has length √2 · a, so half of that gives a / √2.

"An atom's position, its share of the cell, and its neighbors — together these are the crystal structure."
원자의 위치, 셀에 대한 기여분, 가장 가까운 이웃들, 이 셋이 모이면 그게 곧 결정 구조입니다. APF, CN, N, 격자상수, 슬립 시스템 등 우리가 외워야 하는 모든 숫자는 결국 이 셋에서 유도됩니다.
An atom's position, its fractional share of the cell, and its nearest neighbors — together these define the crystal structure entirely. Every number we memorize — APF, CN, N, lattice parameter, slip system — ultimately derives from these three quantities.
TXT Hammond · The Basics of Crystallography (4th) · TXT Kittel 8e Ch.1
이어서 볼 개념Related concepts
CH.03 · L01단위격자 입문Unit cell CH.03 · L03Bravais 격자Bravais lattices CH.01 · L02주기율표Periodic table
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